`text(E)(X) = 2 * 0,20 + 4 * 0,30 + 6 * 0,50 = 4,6`

`text(E)(Y) = 0 * 0,40 + 10 * 0,60 = 6`

`text(E)(X + Y) = 2 * 0,08 + 4 * 0,12 + 6 * 0,20 + 12 * 0,12 + 14 * 0,18 + 16 * 0,30 = 10,6`

`text(E)(X) + text(E)(Y) = 4,6 + 6 = 10,6` , dus `text(E)(X + Y) = text(E)(X) + text(E)(Y)`

`text(Var)(X)=(2-4,6)^2*0,2+(4-4,6)^2*0,3+(6-4,6)^2*0,5=2,44`

`text(Var)(Y)=(0-6)^2*0,4+(10-6)^2*0,6=24`

`text(Var)(X+Y)=(2-10,6)^2*0,08+(4-10,6)^2*0,12+(6-10,6)^2*0,2+` `(12-10,6)^2*0,12+(14-10,6)^2*0,18+(16-10,6)^2*0,3=26,44`

Hieruit volgt `sigma(X)=sqrt(2,44)` ; `sigma(Y)=sqrt(24)` en `sigma(X+Y)=sqrt(26,44)`

Omdat deze manier van optellen sterk lijkt op het toepassen van de stelling van Pythagoras.

`x`	`0`	`1`
`text(P)(X=x)`	`0,5`	`0,5`

De kansverdeling van `Y` is hetzelfde als die van `X` .

`x+y`	`0`	`1`	`2`
`text(P)(X+Y=x+y)`	`0,25`	`0,5`	`0,25`

`text(E)(X)=text(E)(Y)=0,5` en `text(E)(X+Y)=1` .

Vervolgens:

`text(Var)(X)=text(Var)(Y)=(0-0,5)^2*0,5+(1-0,5)^2*0,5=0,25`

`text(Var)(X+Y)=(0-1)^2*0,25+(1-1)^2*0,5+(2-1)^2*0,25=0,5`

Dus `sigma(X)=sigma(Y)=0,5` en `sigma(X+Y)=sqrt(0,5)` , hetgeen voldoet aan de gegeven vergelijking.

Stochast `X` : voer beide lijsten op de grafische rekenmachine in (kansen vormen de relatieve frequenties); lees daarna in het STAT-menu de gemiddelde waarde uit voor `text(E)(X)` en `sigma(X)` voor de standaardafwijking. Bereken `text(Var)(X)` door `sigma(X)` te kwadrateren. Check of ze gelijk zijn aan de waarden in het voorbeeld. Stochast `Y` : werk als bij stochast `X` .

`text(P)(X+Y=1)=0,02*0,02+0,02*0,01=0,06`

De waarden `0` tot en met `20` .

Als de schutters samen een score hebben van `2` , dan:

• A heeft een score van `0` en B een score van `2` of

• A en B hebben beiden een score van `1` of

• A heeft een score van `2` en B een score van `0` .

`text(P)(X+Y=2)=0,02*0,03+0,02*0,02+0,04*0,01=0,0014`

`text(E)(A) = text(-)1 * 0,6 + 5* 0,4 = 1,4`
`text(E)(B) = text(-)1 * 0,7 + 5 * 0,3 = 0,8`

`sigma(A) = sqrt((text(-)1-1,4)^2 * 0,6 + (5-1,4)^2 * 0,4) = sqrt(8,64)`
`sigma(B) = sqrt((text(-)1-0,8) ^2 * 0,7 + (5-0,8)^2 * 0,3) = sqrt(7,56)`

`text(E)(A+B)=text(E)(A)+text(E)(B)=1,4+0,8=2,2`

`sigma(A+B)=sqrt(8,64+7,56)=sqrt(16,2)`

`A+B`	`text(-)2`	`4`	`10`
`text(P)(A+B=a+b)`	`0,42`	`0,46`	`0,12`

Je krijgt dezelfde antwoorden als bij b: `text(E)(A+B)=2,2` en `sigma(A+B)=sqrt(16,2)`

De eerste twee en laatste twee waarden van de kansverdeling van `3 X` zijn `0` , `1` , `29` en `30` .

`text(P)(3X=1)` bereken je door de kansen `text(P)(X=0)` , `text(P)(X=0)` , en `text(P)(X=1)` te vermenigvuldigen. Bedenk wel dat je hier `3` volgordes hebt ( `0, 0, 1` of `0, 1, 0` of `1, 0, 0` ). Je krijgt dan: `0,02*0,02*0,02*3≈0,000024` .

Door de kansverdeling voor `3 X` helemaal te maken en `text(E)(3 X)` en `σ(3 X)` daarmee te berekenen.

`text(E)(X+2 )=text(E)(X)+text(E)(2 )=text(E)(X)+2`

`σ(X+2 )=sqrt( (σ(X))^2+ (σ(2 ))^2)=σ(X)` , want de standaardafwijking van een constant getal is `0` : `σ(2 )=0` .

`text(E)(X)=0*(1-p)+1*p=p`

`sigma(X)=sqrt((1-p)(0-p)^2+p(1-p)^2)=sqrt(p-p^2)=sqrt(p(1-p))`

`text(E)(60X)=0,65*60=39`

`sigma(60X)=sqrt(60)*sqrt(0,2275)~~3,69`

Bereken de waarden in de tabel door de kansen te vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld:

`text(P)(Y-X=4)=text(P)(Y=5)*text(P)(X=1)=0,25*0,15=0,2125`

De kansverdeling van `Y-X` :

` y-x `	`5`	`10`	`15`	`4`	`9`	`14`
` text(P)(Y-X=y-x) `	`0,0375`	`0,0600`	`0,0525`	`0,2125`	`0,3400`	`0,2975`

`text(E)(Y-X)=5*0,0375 + 10*0,0600 + ... + 14*0,2975=9,65`

Nu is `text(E)(X)=0,85` ; `text(E)(Y)=10,5` en `text(E)(Y-X)=9,65` .
En `10,5 -0,85 =9,65` .

Bereken `sigma(X)` , `sigma(Y)` en `σ(Y-X)` met de grafische rekenmachine.

Je krijgt `σ(X)≈0,357` ; `σ(Y)≈3,841` ; `σ(Y-X)≈3,857` en `3,857 ≈sqrt(0,357^2+3,841^2)` .

Voor de dobbelsteen geldt deze kansverdeling voor het aantal keren zes `Z` dat boven komt:

`z`	`0`	`1`
`text(P)(Z=z)`	`3/4`	`1/4`

En dus is `text(E)(Z)=1/4` .

Werp je `250` keer met deze dobbelsteen, dan verwacht je `250 *1/4=62,5` keer een zes.

Met behulp van de GR of met de hand vind je `sigma(Z)=0,433...` .

`sigma(250Z)=sqrt(250)*sigma(Z)~~6,85`

De uitkomsten `1` tot en met `5` hebben een kans van `3/4*1/5=3/20` om te gebeuren.

Hiermee vind je dat de verwachtingswaarde gelijk is aan `(1+2+3+4+5)*3/20+1/4*6=3,75` .

Dus de verwachtingswaarde van het aantal ogen als je tien keer gooit is `3,75*10=37,5` .

De verwachte uitbetaling is € 2,80.

Noem `X` het aantal keren kop met de onzuivere munt en `Y` het aantal ogen met de viervlaksdobbelsteen.

Noem `p` de kans op kop. Je kunt de volgende kansverdelingen opstellen:

`x`	0	1
`text(P)(X=x)`	`1-p`	`p`

en

`y`	`1`	`2`	`3`	`4`
`text(P)(Y=y)`	`1/4`	`1/4`	`1/4`	`1/4`

Voor de verwachte uitbetaling `Z` geldt:

`p+1*1/4+2*1/4+3*1/4+4*1/4=p+2,5=2,8` en hieruit volgt `p=0,3` .

Met de GR of met de hand vind je dat `sigma(X)=0,458...` en `sigma(Y)~~1,118...` .

`sigma(X+Y)=sqrt((sigma(X))^2+(sigma(Y))^2)~~1,21` euro.

De kansverdeling van `A` is:

`a`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`
`text(P)(A=a)`	`0,15`	`0,18`	`0,29`	`0,28`	`0,10`

De kansverdeling van `B` is:

`b`	`5`	`6`	`7`
`text(P)(B=b)`	`0,32`	`0,41`	`0,27`

`C` is het gemiddelde cijfer van de twee practicumtoetsen.

`text(E)(A)=6` en `text(E)(B)=5,95` . Dus: `text(E)(C)=1/2(6+5,95) approx 6,0`

Kansverdeling van stochast `C` :

`c`	`4,5`	`5`	`5,5`	`6`	`6,5`	`7`	`7,5`
`text(P)(C=c)`	`0,10`	`0,16`	`0,13`	`0,19`	`0,20`	`0,16`	`0,06`

De correcte standaardafwijking voor `C` is afgerond `0,87` .

De somregel voor twee stochasten geldt alleen als de beide stochasten onafhankelijk van elkaar zijn. Dat is nu niet zo.

`k`	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`
`text(P)(K=k)`	`36/52`	`4/52`	`4/52`	`4/52`	`4/52`

Per kaart is het verwachte aantal punten: `E(K) = 0*36/52 + 1*4/52 + 2* 4/52 + 3*4/52 + 4*4/52 = 10/13` .
Per hand is het verwachte aantal punten dan `E(H) = 13 * E(K) = 10` .
Geen geldig openingsbod, dus.

Voer de lijst met punten en de lijst met kansen in je grafische rekenmachine in en laat de bijbehorende waarden berekenen:

`σ(K) ~~ 1,31`

De standaardafwijking van een hand met `13` kaarten `σ(H) = sqrt(13)* σ(K) = 4,72` punten.

Te berekenen: `text(P)(H >= 13)` .

Je zult dan moeten uitpluizen in welke gevallen je `13` of meer punten hebt en van elk van deze gevallen moet je de kans berekenen: dat zijn heel veel gevallen en voor elk geval ingewikkelde kansberekeningen.

Bekijk alleen al wat mogelijkheden voor het geval `H = 13` :

• 3 azen en 1 boer en verder geen plaatjes

• 2 azen, 1 heer en 2 boer en verder geen plaatjes

• 2 azen, 2 vrouwen en 1 boer en verder geen plaatjes

• 1 aas, 2 heren, 3 boeren en verder geen plaatjes

• etc.

en de kans op een van deze mogelijkheden:

`P(text(3 azen en 1 boer en verder geen plaatjes)) = ((13),(3)) * ((10),(1)) * (4/52)^3 * 4/52 * (36/52)^9 =...`

Voor wie echt wil weten hoe groot deze kans is: `P(H >= 13) = 0,2845 ~~ 28,5` %.

De kansverdeling van het aantal keer kruis `K` is:

`k`	`0`	`1`	`2`
` text(P)(K=k) `	`0,25`	`0,50`	`0,25`

Je kunt `1` keer kruis verwachten.

`σ(K)=sqrt(1,5 )≈0,71`

Je verwacht dan `10` keer kruis.

`7,07`

`67` keer kop.

`σ(K)=4,71`

De standaardafwijking is groter.

Je kunt een berekening gebruiken om het aan te tonen. Maar je kunt ook direct zeggen dat de spreiding (de afstand van de uitkomsten ten opzichte van de verwachtingswaarde) van de onzuivere munt hoger is dan van een zuivere munt. Deze spreiding is direct verwant aan de standaardafwijking.