Discrete kansmodellen > Stochasten optellenUitleg
Iemand speelt een spel waarbij de eindscore wordt berekend door de scores van twee afzonderlijke kansspellen bij elkaar op te tellen. Bij het eerste spel kan hij 2, 4 of 6 punten verdienen, bij het tweede spel 0 of 10 punten. `X` is de stochast voor het aantal punten bij het eerste spel en `Y` die voor het tweede spel. Op grond van voorgaande resultaten heeft hij deze kansverdelingen opgesteld:
|
|
Ga ervan uit dat de uitkomst van het eerste spel geen invloed heeft op de uitkomst van het tweede spel. Dit betekent dat `X` en `Y` onafhankelijke stochasten zijn.
Bij de eindscore past dan deze kansverdeling:
| `x+y` | `2` | `4` | `6` | `12` | `14` | `16` |
| `text(P)(X+Y=x+y)` | `0,08` | `0,12` | `0,20` | `0,12` | `0,18` | `0,30` |
Je kunt nu zelf nagaan dat `text(E)(X)=4,6` en `text(E)(Y)=6` en `text(E)(X+Y)=10,6` .
Hier geldt dus dat de verwachtingswaarde van `X+Y` gelijk is aan de som van de afzonderlijke verwachtingswaarden.
Ook kun je nagaan dat `text(Var)(X)=2,44` en `text(Var)(Y)=24` en `text(Var)(X+Y)=26,44` .
Ook de variantie van
`X+Y`
is gelijk aan de som van de afzonderlijke varianties.
Omdat
`(σ(X)) ^2=text(Var)(X)`
moet gelden
`(σ(X+Y) )^2= σ(X) ^2+ σ(Y)^2`
. En dus
`σ(X+Y)=sqrt( σ(X) ^2+ σ(Y) ^2)`
.
In de
Bereken zelf de verwachtingswaarden van `X` , `Y` en `X+Y` en ga na dat `text(E)(X+Y)=text(E)(X)+text(E)(Y)` .
Bereken zelf de standaardafwijkingen van `X` , `Y` en `X+Y` en ga na dat `σ(X+Y)=sqrt( σ(X)^2+ σ(Y)^2)` .
Waarom wordt deze manier van optellen van standaardafwijkingen wel "pythagorisch optellen" genoemd?
Iemand gooit twee keer een muntje op, en wil een kansverdeling opstellen voor het aantal keren dat hij kop gooit. Noem `X` de waarde van de eerste toss en `Y` die van de tweede, met `X=Y=1` als er kop wordt gegooid en `X=Y=0` bij munt.
Stel de kansverdelingen op voor `X` , `Y` en `X+Y` .
Bereken de standaardafwijkingen van `X` , `Y` en `X+Y` en controleer dat `sigma(X+Y)=sqrt((sigma(X))^2+(sigma(Y))^2)` .