Discrete kansmodellen > Binomiale stochastenToepassen
Een meerkeuzetoets bestaat uit `50` vragen, elk met vier mogelijke antwoorden, waarvan er slechts één juist is.
De docente die deze toets heeft gemaakt wil de normering ervan vaststellen. De cijfers worden tot op één decimaal nauwkeurig berekend; het laagst mogelijke cijfer is 1,0 en het hoogst mogelijke 10,0. Zij wil bij het vaststellen van het cijfer het gokken van antwoorden zo min mogelijk belonen.
Ze zou er daartoe voor kunnen kiezen om het aantal verwachte goede antwoorden bij zuiver gokken niet te belonen. Verder werkt ze met een vast aantal punten per vraag.
Welke normering zou ze dan het best kunnen hanteren?
Zij kan ook besluiten dat bij willekeurig invullen de kans op het cijfer 4,0 of hoger bij benadering niet meer dan `3` % mag zijn. Voor hoeveel goede antwoorden wordt dan het cijfer 4,0 gegeven?
Ga er nu van uit dat er een zuiver lineaire puntenverdeling wordt gehanteerd:
-
bij `0` tot `5` vragen goed krijg je een 1,0;
-
bij `6` vragen goed krijg je een 1,2;
-
bij `7` vragen goed krijg je een 1,4;
-
...
-
bij `50` vragen goed een 10,0.
Je weet op `30` vragen het goede antwoord en besluit de rest van de vragen op goed geluk in te vullen. Welk cijfer kun je verwachten?
Bereken, in de situatie bij c, de kans dat je een 7,6 of meer scoort. Rond af op vier decimalen nauwkeurig.
Bij `n` zeker goede antwoorden en de overige vragen willekeurig invullen is de kans op minstens 7,0 groter dan `90` %. Bereken `n` .
Als je een Bernoulli-experiment `n` keer herhaalt en stochast `X` stelt het aantal successen daarbij voor, dan heeft `X` een binomiale kansverdeling. Je kunt ook een Bernoulli-experiment net zo vaak uitvoeren totdat je één keer succes hebt. Hoe vaak je dan het experiment moet uitvoeren is afwachten. De bijbehorende stochast heeft dan een geometrische verdeling. In deze opgave zie je daar een voorbeeld van.
Bij het spel "Mens erger je niet" moet je eerst met een dobbelsteen een zes hebben gegooid, voordat je een pion op het speelveld mag plaatsen.
Stochast `X` stelt het aantal keren gooien voordat je een pion op het speelveld mag plaatsen voor.
Bereken `text(P)(X=5)` . Rond af op vier decimalen.
Toon aan dat `text(E)(X)=sum_(n=1)^(oo) n*(5/6)^(n-1)*1/6` .
Toon aan dat `1/6*text(E)(X)=sum_(n=1)^(oo)(5/6)^(n-1)*1/6` .
Bereken de verwachtingswaarde van `X` .