Discrete kansmodellen > Binomiale stochasten
1234567Binomiale stochasten

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Probeer zelf eerst antwoorden te verzinnen. Kom je er echt niet uit, bekijk dan de Uitleg .

b

Het kunnen twee meisjes, of twee jongens of een meisje en een jongen zijn. Van elk van deze drie situaties bereken je de kans en die kansen tel je op.

c

Van de jongens verwacht je in zo'n klas gemiddeld `10*0,08=0,8` kleurenblinden, van de meisjes `15*0,004=0,06` kleurenblinden.

Opgave 1
a

Doen, gebruik je GR.

b

Je gaat er van uit dat de aselecte trekking van de éne westerse man niet afhangt van die van een andere westerse man. (Dat mag je alleen maar aannemen omdat er heel veel westerse mannen zijn!)

c

P ( K = 4 ) = 0,08 4 0,92 6 ( 10 4 ) 0,0052 .

Opgave 2
a

Bekijk de kansverdeling van `X` :

`x` `0` `1`
`text(P)(X=x)` `5/6` `1/6`
b

`text(E)(X) = 0 * 5 / 6 + 1 * 1 / 6 = 1 / 6` en `text(Var)(X) = (0 - 1 / 6 ) ^ 2 * 5 / 6 + (1 - 1 / 6 ) ^ 2 * 1 / 6 = 30 / 216 = 5 / 36` .

`sigma(X) = sqrt(5/36)=1/6sqrt(5)`

of: `sigma(X)=sqrt(1/6*5/6)=sqrt(5/36)=1/6sqrt(5)`

c

Iedere keer werp je opnieuw met de dobbelstenen dus het betreft `12` herhalingen van onafhankelijke herhalingen van een Bernoulli-experiment:

`text(P)(A=3 )= (1/6) ^3* (5/6) ^9*((12),( 3))≈0,1974`

d

`text(E)(A)=12 *1/6=2` en `σ(A)=sqrt(12*5/36)≈1,2910` .

Opgave 3
a

Per dobbelsteenworp zijn er twee mogelijke uitkomsten: wel of niet een zes. Bovendien is iedere worp onafhankelijk van de andere worpen.

b

`text(P)(X=6 )= (1/6) ^6* (5/6) ^4*((10),( 6) )≈0,0022`

GR: `text(binompdf)(10, 1/6, 6)`

c

`text(P)(X le 6 | n = 10 text( en ) p = 1/6) ≈ 0,9997`

GR: `text(binomcdf)(10, 1/6, 6)`

d

Je kunt nu gebruikmaken van de complementregel.

`text(P)(X ge 4)=1-text(P)(X lt 4)=1-text(P)(X le 3) ~~ 0,0697` .

GR: `1-text(binomcdf)(10, 1/6, 3)`

Opgave 4
a

Noem `X` het aantal keren dat je zes gooit.

Voer in: `text(binompdf)(30, 1/6, 5)`

`text(P)(X=5 |n=30 text( en ) p=1/6)≈0,1921`

b

Noem `X` het aantal keren dat je oneven gooit.

`text(P)(X = 30 | n = 30 text( en ) p = 1 / 2) =(1/2)^30 ~~ 0,0000`

c

Noem `A` het aantal keren dat je een `1` of `2` gooit.

Voer in: `text(binomcdf)(30, 1/3, 10)`

`text(P)(A le 10 | n = 30 text( en ) p = 1/3)~~0,5848`

Opgave 5
a

`text(P)(X le 8 |n=15 text( en ) p=0,15 )~~0,9999` .

b

`text(P)(X le 8 |n=55 text( en ) p=0,35 )~~0,0006`

c

`text(P)( 42 le X le 54) = text(P)(X le 54)-text(P)(X le 41)~~0,7301`

d

`text(P)(X le 2 text( of ) X ge 5)=1-text(P)(X=3 text( of ) X=4)~~0,5562`

e

`text(P)(X ge 10) = 1 - text(P)(X le 9) ~~ 0,0000`

Opgave 6
a

`X` is een binomiale stochast met `n=12` en `p=1/3` .

Voer in: `y_1=text(binompdf)(12, 1/3, x)`

Lees de tabel af voor `0 le x le 12` . Dat is de kansverdeling.

b

`text(E)(X)=12*1/3=4`

`sigma(X)=sqrt(12*1/3*2/3)~~1,6330`

Opgave 7
a

Noem `X` het aantal keren dat Erwin in de roos schiet. Dan is `X` binomiaal verdeeld met `n=5` en `p=0,25` .

Voer in: `y_1=text(binompdf)(5; 0,25; x)`

Lees de tabel af voor `0 < =x < =5` . Dat is je kansverdeling voor het aantal keren dat Erwin in de roos schiet. Noem het aantal punten dat Erwin kan scoren `S` . Het aantal punten heeft dus stochast `S=10X` (per schot krijgt hij `0` of `10` punten). Let op dat `10X` niet betekent dat je `10` keer een Bernoulli-experiment doet.

Dan is de kansverdeling:

`s` `0` `10` `20` `30` `40` `50`
`text(P)(S=s)` `0,2373` `0,3955` `0,2637` `0,0879` `0,0146` `0,0010`
b

Zie de uitwerking van deelvraag a.

`text(E)(S)=text(E)(10X)=10*text(E)(X)=10*5*0,25=12,5`

`sigma(S)=sigma(10X)=sqrt(10)*sigma(X)=sqrt(10)*sqrt(5*1/4*3/4)=sqrt(75/8)`

Opgave 8
a

Voer in: `y_1=text(binompdf)(x; 0,25; 3)`

Bekijk de tabel.

Je vindt: `3 le a le 9` en `a >= 14`

Merk op dat `x lt 3` niet realistisch is.

b

`text(P)(X ge a) = 1 - text(P)(X le a-1)`

Voer in: `y_1=1-text(binomcdf)(7; 0,30; x-1)`

Bekijk de tabel.

Je vindt: `0 le a le 3`

c

Voer in: `y_1=text(binompdf)(17, x, 5)` en `y_2=0,2`

Venster: `[0, 1]xx[0, 1]`

Met intersect vind je snijpunten op `x=0,2630...` en `x=0,3264...` .

`a le 0,263 vv a gt 0,326` .

Opgave 9
a

`text(P)(K=6 |n=50 text( en ) p=0,08 )~~0,1063`

Voer in: `text(binompdf)(50; 0,08, 6)`

b

`text(P)(K ge 6 |n=50 text( en ) p=0,08 )=1 - text(P)(K le 5 |n=50 text( en ) p=0,08 )~~0,2081`

Voer in: `1- text(binomcdf)(50; 0,08; 5)`

c

`text(P)(6 le K le 9)=text(P)(K le 9)-text(P)(K le 5)~~0,2025`

Voer in: `text(binomcdf)(50; 0,08; 9)-text(binomcdf)(50; 0,08; 5)`

Opgave 10
a

Het betreft hier viermaal een Bernoulli-experiment met `p = 0,8` ( `8` op de `10` krijgen geen griep) en `n = 4` en `p = 0,8` .

`E(X) = n * p = 4 * 0,8 = 3,2`

b

Noem `Y` het aantal patiënten dat griep krijgt. Dan is `text(P)(Y < =1 |n=4 text( en ) p=0,2)=0,8192` .

Voer in: `text(binomcdf)(4; 0,2, 1)`

c

`text(P)(text(A en B geen griep en C en D wel griep)) = 0,8^2*0,2^2=0,0256`

d

`text(P)(A=2 |n=4 text( en ) p=0,8 )=0,1536`

Hiervoor kun je `text(binompdf)(4; 0,8; 2)` gebruiken. Maar omdat er `((4),(2))=6` mogelijke combinaties zijn van twee personen uit de vier, is een snellere berekening `0,0256*6=0,1536` .

Opgave 11
a

Voer in: `text(binomcdf)(20; 0,45; 6)`

De kans is ongeveer `0,1299` .

b

`text(P)(X gt 8) = 1 - (X le 8)`

Voer in: `1-text(binomcdf)(15; 0,35; 8)`

De kans is ongeveer `0,0422` .

c

`text(P)(X ge 46) = 1 - text(P)(X le 45)`

Voer in: `1-text(binomcdf)(50; 0,55; 45)`

De kans is ongeveer `0,0000` .

d

Voer in: `text(binomcdf)(25; 0,25; 5)`

De kans is ongeveer `0,3783` .

e

`text(P)(X lt 16) = text(P)(X le 15)`

Voer in: `text(binomcdf)(30; 0,45; 15)`

De kans is ongeveer `0,7691` .

Opgave 12
a

`X` is een binomiale stochast met parameters `n=5` en `p=1/4` .

Voer in: `text(binompdf)(5, 1/4, x)`

Kansverdeling van `X` is:

`x` `0` `1` `2` `3` `4` `5`
`text(P)(X=x)` `0,2373` `0,3955` `0,2637` `0,0879` `0,0146` `0,0010`
b

`text(E)(X) = n * p = 5 * 1/4 = 1,25`

`σ(X) = sqrt(n*p*(1-p)) = sqrt(5 * 1/4 * 3/4) ~~ 0,97`

Opgave 13
a

Voer in: `y_1=text(binomcdf)(100; 0,35; x)`

In de tabel zie je `x=29` .

b

Voer in: `y_1=text(binomcdf)(18; 0,45; x)`

In de tabel zie je `x le 9` .

c

`text(P)(X gt x)=1 - text(P)(X le x) lt 0,1777`

Voer in: `y_1=1-text(binomcdf)(12, 1/3, x)`

In de tabel zie je `6 le x le 12` .

Merk op dat `x gt 12` niet realistisch is.

d

Voer in: `y_1=text(binomcdf)(15, x, 3)` en `y_2=0,2`

Venster: `[0, 1]xx[0, 1]`

Met intersect vind je `x = 0,33746...` .

Dus `x lt 0,34` .

e

`text(P)(X ge 10) = 1 - text(P)(X le 9)`

Voer in: `y_1=1-text(binomcdf)(50, x, 9)` en `y_2=0,2`

Venster: `[0, 1]xx[0, 1]`

Met intersect vind je `x = 0,14848...` .

Dus `x lt 0,15` .

Opgave 14
a

Omdat de kaart telkens wordt teruggestopt en er wordt geschud voordat de volgende kaart wordt getrokken. Verder zijn er per getrokken kaart precies twee mogelijkheden: het is een hartenkaart of niet. Het trekken van een kaart is dus in dit geval een Bernoulli-experiment. Omdat het zes keer herhaald wordt, is hier sprake van een binomiaal kansexperiment.

b

Noem `X` het aantal hartenkaarten.

`text(P)(X≤3 |n=6 text( en ) p=0,25 )≈0,9624`

Voer in: `text(binomcdf)(6; 0,25; 3)`

c

`text(P)(X gt 3)=1 - text(P)(X≤3)≈0,0376`

d

De kansen per kaart veranderen nu doordat het totaal aantal kaarten verandert. De kans op de eerste keer harten is `13` op de `52` (dus `1/4` ), maar bij de tweede trekking zijn er `12` of `13` hartenkaarten op de `51` kaarten.

Opgave 15
a

Los op: `text(P)(X le x|n=100 text( en ) p=0,35 )~~0,12`

Voer in: `y_1=text(binomcdf)(100; 0,35; x)`

In de tabel vind je `x le 29` .

b

Los op: `text(P)(X le 3 |n=x text( en ) p=1 /6 )~~0,768`

Voer in: `y_1=text(binomcdf)(x; 1/6; 3)` en bekijk de tabel.

In de tabel zie je dat voor `x= 15` de kans ongeveer `0,768` is.

De grootte van de steekproef is `15` .

Opgave 16

De verwachtingswaarde is `n*p=8/3` en dus `n=8/(3p)` .

De variantie is `n*p*(1 -p)=(4/3)^2` . Substitutie van `n=8/(3p)` geeft:

`8/3 * (1 - p) = 16/9`

Hieruit volgt dat `p=1/3` en `n=8` .

Dus `text(P)(X=4 |n=8 text( en ) p=1/3)≈0,1707` .

Opgave 17Meerkeuzetoets
Meerkeuzetoets
a

Bij gokken verwacht je `1 /4` deel goed in te vullen. Omdat het aantal goed gegokte vragen een binomiale stochast is, is de verwachtingswaarde gelijk aan `n*p = 50 * 0,25 = 12,5` . Dus `12` goede antwoorden correspondeert met een 1,0 en de normering is verder lineair.

b

`text(P)(X ge g|n=50 text( en ) p=0,25 )=1 -text(P)(X le g-1 |n=50 text( en ) p=0,25 ) le 0,03`

Voer in: Y1=1-binomcdf)(50,0.25,X-1) en Y2=0.03. Je vindt dan dat bij `g=19` de kans ongeveer `0,03` is: ofwel je krijgt een 4,0 bij `19` goede antwoorden.

c

Je verwacht `5` van de `20` gegokte vragen goed te hebben.

`30` vragen goed geeft een 6,0. En `5` vragen gokken een 1,0. Je verwacht een 7,0 te krijgen.

d

Je moet hier bij `20` vragen gokken minstens `1,6` punten verdienen. Dat betekent minstens `8` vragen goed gokken.

`text(P)(X ge 8 |n=20 text( en ) p=0,25 ) = 1 - text(P)(X le 7 | n=20 text( en ) p=0,25) ≈ 0,1018`

e

Uit het voorgaande weet je: bij `35` vragen goed heb je een `7,0` .

Als je `n` vragen zeker goed hebt, moet je dus `35 - n` vragen van de `50 - n` te gokken vragen goed gokken:

`text(P)(X ge 35 -n|N=50 -n text( en ) p=0,25 ) ge 0,90` en dus `text(P)(X le 34 -n|N=50 -n text( en ) p=0,25 ) le 0,10` .

Met je GR vind je `n=33` .

Opgave 18Geometrische kansverdeling
Geometrische kansverdeling
a

`text(P)(X=5)=(5/6)^4*1/6~~0,0804`

b

`text(E)(X)=1*1/6+2*5/6*1/6+3*(5/6)^2*1/6+...`

`text(P)(X=n)=(5/6)^(n-1)*1/6`

`text(E)(X)=sum_(n=1)^(oo) n*(5/6)^(n-1)*1/6`

c
`text(E)(X)` `=` `1*1/6+2*5/6*1/6+3*(5/6)^2*1/6+4*(5/6)^3*1/6` `-`
`5/6*text(E)(X)` `=` `1*5/6*1/6+2*(5/6)^2*1/6+3*(5/6)^3*1/6`
`1/6*text(E)(X)` `=` `1/6+5/6*1/6+(5/6)^2*1/6+(5/6)^3*1/6`

Dus: `1/6*text(E)(X)=sum_(n=1)^(oo)(5/6)^(n-1)*1/6`

d

Merk op dat `sum_(n=1)^(oo)(5/6)^(n-1)*1/6` de som is van een meetkundige rij.

`1/6*text(E)(X)=sum_(n=1)^(oo)(5/6)^(n-1)*1/6=lim_(n rarr oo)1/6*(1-(5/6)^n)/(1-5/6)=1/6*1/(1/6)=1`

Hieruit volgt dat `text(E)(X)=6` .

Opgave 19
a

`text(E)(K)=5` en `σ(K)≈1,58` .

b

`text(E)(L)=500` en `σ(L)≈15,81` .

Opgave 20
a

`~~0,0031`

b

`~~0,9437`

c

`7,5`

Opgave 21

`~~0,3770`

verder | terug