Discrete kansmodellen > Binomiale stochasten
1234567Binomiale stochasten

Uitleg

Kleurenblindheid komt voor bij 8% van de westerse mannen. Of iemand kleurenblind is kun je niet aan zijn uiterlijk zien, dus iedere westerse man die je tegenkomt (en verder niet kent) heeft voor jou een kans van 0,08 om kleurenblind te zijn. Vraag je een willekeurige westerse man of hij kleurenblind is of niet, dan doe je een kansexperiment met precies twee uitkomsten: 0 als hij niet kleurenblind is en 1 als dit wel het geval is.
Zo'n kansexperiment heet een Bernoulli-experiment naar de Zwitserse wiskundige Jakob Bernoulli (1654 - 1705).
De bijbehorende kansverdeling is:

x
P ( X = x )

Vraag je 10 westerse mannen naar kleurenblindheid dan voer je het Bernoulli-experiment 10 keer uit: je herhaalt 10 keer hetzelfde experiment. De bijbehorende stochast is K = 10 X en de kans dat er 2 kleurenblinden bij zijn is:
P ( K = 2 ) = 0,08 2 0,92 8 ( 10 2 )
waarin ( 10 2 ) het aantal mogelijke combinaties van 2 uit 10 voorstelt.
Dit getal is het aantal mogelijke takken in de bijbehorende kansboom van 10 lagen met 2 kleurenblinden en 8 niet-kleurenblinden.

Een complete kansverdeling van K ziet er zo uit:

  • P ( K = 0 ) = 0,08 0 0,92 10 ( 10 0 )

  • P ( K = 1 ) = 0,08 1 0,92 9 ( 10 1 )

  • P ( K = 2 ) = 0,08 2 0,92 8 ( 10 2 )

  • ...

  • P ( K = 10 ) = 0,08 10 0,92 0 ( 10 10 )

Bij deze kansverdeling kun je eenvoudig de verwachting en de standaarddeviatie berekenen, bijvoorbeeld zo:
E ( K ) = E ( 10 X ) = 10 E ( X ) = 10 0,08 = 0,8
en
σ ( K ) = σ ( 10 X ) = 10 σ ( X ) 10 0,27 0,86 .

Opgave 1

Bekijk de stochast X in de Uitleg .

a

Laat zien, dat E ( X ) = 0,08 en σ ( X ) 0,86 .

b

Nu is K = 10 X . Leg uit waarom K de som van 10 onafhankelijke Bernoulli-experimenten is.

c

Bereken P ( K = 4 ) .

Opgave 2

Je werpt met twee dobbelstenen en bepaalt na de worp de som van het aantal bovenliggende ogen. De stochast geeft aan of het aantal ogen zeven is of niet:

  • betekent dat je geen zeven ogen gooit.

  • betekent dat je zeven ogen gooit.

a

Stel een kansverdeling voor op.

b

Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van exact.

Je gooit nu twaalf keer met twee dobbelstenen. Je let op het aantal keren dat je zeven ogen gooit.

c

Hoe groot is de kans dat je drie keer zeven ogen gooit, dus hoe groot is ?

d

Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van . Rond zo nodig af op vier decimalen.

verder | terug