Discrete kansmodellen > Binomiale stochasten
1234567Binomiale stochasten

Uitleg

In herhalende kansprocessen met twee mogelijke uitkomsten, is de kansberekening erachter gauw in een bepaald patroon vast te leggen.

In een doos bevindt zich een zeer groot aantal kralen. 40% van deze kralen is rood en de rest zwart, groen en blauw. Je haalt hier aselect en met terugleggen (waarbij je goed schudt) kralen uit. Stochast is het aantal rode kralen.

Kijk je of een kraal rood is of niet, dan voer je een kansexperiment uit met precies twee uitkomsten: als een kraal niet rood is en als dit wel het geval is. Zo'n kansexperiment heet een Bernoulli-experiment naar de Zwitserse wiskundige Jakob Bernoulli (1654-1705). Je zegt ook wel dat rood () "succes" is en niet-rood () "mislukking" . De bijbehorende kansverdeling is:

Kijk je keer of een kraal die je trekt rood is, dan voer je het Bernoulli-experiment keer uit: je herhaalt keer hetzelfde experiment.
De bijbehorende stochast is en de kans dat er rode kralen bij zijn is:

is het aantal mogelijke combinaties van uit . Dit is het aantal mogelijke takken in de bijbehorende kansboom van lagen met rode kralen en niet-rode kralen.

Vaak wordt in de berekening het aantal combinaties als eerste neergezet:

Omdat de kans op succes is en het aantal experimenten gelijk is aan , noteer je ook wel:

De variabelen en noem je de parameters van de kansverdeling.

Een kansverdeling van ziet er zo uit:

  • ...

De grafische rekenmachine kan deze kansen ook in één keer voor je berekenen, zie het practicum Kansverdelingen en de GR.

Bij deze kansverdeling, ook wel een binomiale kansverdeling genoemd, kun je eenvoudig de verwachting, de variantie en de standaardafwijking berekenen. Bijvoorbeeld zo:

Opgave 1

Bekijk de stochast in de uitleg.

a

Laat met een berekening zien dat , en .

b

Nu is . Leg uit waarom de som van onafhankelijke Bernoulli-experimenten is.

c

Bereken . Rond af op vier decimalen.

Opgave 2

Je werpt met twee dobbelstenen en bepaalt na de worp de som van het aantal bovenliggende ogen. De stochast geeft aan of het aantal ogen zeven is of niet:

  • betekent dat je geen zeven ogen gooit.

  • betekent dat je zeven ogen gooit.

a

Stel een kansverdeling voor op.

b

Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van exact.

Je gooit nu twaalf keer met twee dobbelstenen. Je let op het aantal keren dat je zeven ogen gooit.

c

Hoe groot is de kans dat je drie keer zeven ogen gooit, dus hoe groot is ?

d

Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van . Rond zo nodig af op vier decimalen.

verder | terug