Discrete kansmodellen

Discrete kansmodellen > Niet-binomiaal

1234567Niet-binomiaal

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Dit is een situatie zonder terugleggen.
De gevraagde kans is `4 * 2/25*23/24*22/23*21/22 = 7/25 =0,28` .

Deze situatie mag je opvatten als een situatie met terugleggen (zie Uitleg 2).
Dit gaat om een binomiale stochast.
`X` is het aantal kleurenblinde mannen, `n = 4` en `p = 0,08` .
`text(P)(X=1 |n=4 text( en ) p=0,08 )≈0,2492` .

Opgave 1

`text(P)(M = 0) = (((20),(5))) /(((30),(5))) ≈ 0,1088`

`text(P)(M = 1) = (((10),(1)) * ((20),(4))) / (((30),(5))) ≈ 0,3400`

`text(P)(M = 2) = (((10),(2)) * ((20),(3))) / (((30),(5)))≈ 0,3600`

`text(P)(M = 3) = (((10),(3)) * ((20),(2))) / (((30),(5)))≈ 0,1600`

`text(P)(M = 4) = (((10),(4)) * ((20),(1))) / (((30),(5)))≈ 0,0295`

`text(P)(M = 5) = (((10),(5)) * ((20),(0))) / (((30),(5)))≈ 0,0018`

GR: `text(E)(M) ~~ 1,6668` en `sigma(M) ~~ 0,9789` .

Omdat er geen sprake is van trekking met teruglegging.

Opgave 2

`text(P)(M = 3) = 10000 / 30000 * 9999 / 29999 * 9998 / 29998 * 20000 / 29997 * 19999 / 29996* ((5),( 3)) approx 0,1646`

`text(P)(M = 4) = (((10000),(4)) * ((20000),(1))) / (((30000),( 5))) approx 0,0411`

Binomiaal:

`text(P)(M = 3 | n = 5 text( en ) p = 1 / 3) approx 0,1646`

`text(P)(M = 4 | n = 5 text( en ) p = 1 / 3) approx 0,0412`

Reken ook alle andere mogelijkheden van de kansverdeling uit:

`text(P)(M = 0) ~~ 0,1317`

`text(P)(M = 1) ~~ 0,3292`

`text(P)(M = 2) ~~ 0,3292`

`text(P)(M = 5) ~~ 0,0041`

GR: `text(E)(M)~~1,666` en `σ(M)≈1,054`

Bij een kleine steekproef uit een heel grote populatie waarbij het gaat om het wel of niet hebben van een bepaalde eigenschap, is het verschil tussen de werkelijke berekening en een binomiaal verdeelde benadering zo klein dat het eigenlijk niet meer uitmaakt.

Daarom wordt in deze situatie het binomiale kansmodel gebruikt: het is een snellere berekening.

Opgave 3

Bij een steekproef gaat het altijd om trekking zonder terugleggen en bij zo'n kleine populatie veranderen de kansen behoorlijk als er telkens eentje minder is.

`text(P)(M≥3 )=text(P)(M=3 )+text(P)(M=4 )~~0,1895`

Opgave 4

Noem `X` het aantal keer trekken.

` x `	`1`	`2`	`3`	`4`
` text(P)(X=x) `	`0,4`	`0,3`	`0,2`	`0,1`

`text(E)(X)=2` , `text(Var)(X)=1` en `sigma(X)=1`

Opgave 5

Het hypergeometrische kansmodel, want de steekproef wordt uit een kleine populatie getrokken.

`text(P)(M lt 2)=text(P)(M=0)+text(P)(M=1)`

`text(P)(M=0)=7/13*6/12*5/11*4/10=7/143`

`text(P)(M=1)=6/13*7/12*6/11*5/10*((4),(1))=42/143`

Dus `text(P)(M lt 2)=49/143~~0,3427` .

Ja, `J` is hypergeometrisch verdeeld. Een hypergeometrische verdeelde stochast bekijkt of dat element uit een steekproef wel of niet een bepaalde eigenschap heeft. Of dat een geselecteerde persoon wel of niet een jonge man is, is een duidelijk gedefinieerde eigenschap (je kunt het hier tellen).

`text(P)(J lt 2) = 1-text(P)(J=2) =1-2/13*1/12*11/11*10/10*((4),(2))=12/13`

Omdat `J` een hypergeometrische stochast is, is bekend:

`text(E)(J) = n * a/N` met `n = 4` en `a/N = 2/13` , dus `text(E)(J)=8/13`

`text(P)(J=2)=1/13` (zie d)
`text(P)(J=0)=11/13*10/12*9/11*8/10=6/13`
`text(P)(J=1)=1-6/13-1/13=6/13`

Hiermee bereken je de variantie en standaardafwijking:

`text(Var)(J)=6/13*(0-8/13)^2+6/13*(1-8/13)^2+1/13*(2-8/13)^2=66/169`

`sigma(J)=sqrt(66/169)=sqrt(66)/13`

Opgave 6

Bij een steekproef gaat het altijd om trekking zonder terugleggen, maar bij een populatie die veel groter is dan de steekproef veranderen de kansen nauwelijks als er telkens eentje minder is. Daarom kun je deze trekking zonder teruglegging benaderen door een trekking met teruglegging.

`text(P)(M ge 3 )=text(P)(M=3 )+text(P)(M=4 )`

Met `M` als hypergeometrische stochast:

`text(P)(M=3)~~0,1798` , zoals in het voorbeeld, en

`text(P)(M=4)= 900/2100*899/2099*898/2098*897/2097~~0,0336`

Dus `text(P)(M ge 3)~~0,2134` .

Met een binomiale benadering gebruik je:

`text(P)(M ge 3)=1-text(P)(M < =2)`

Voer in: `1-text(binomcdf)(4, 900/2100, 2)`

Zo krijg je `text(P)(M ge 3)~~0,2137` .

Opgave 7

`0,23 * 450000 = 103500` en `450000 - 103500 = 346500`
Dat geeft:

`103500/450000*103499/44999*...*103486/449986*346500/449987*...*((80),(15) )`

Omdat `103500/450000≈103499/44999` , enzovoort

Bij een populatie die veel groter is dan de steekproef veranderen de kansen nauwelijks als er telkens eentje minder is.

Hypergeometrisch:

`103500/450000*346500/449999*346499/449998*((3),(1))~~0,4091`

Binomiaal benaderd:

`0,23*0,77^2*((3),(1))~~0,4091`

Uit de voorbeelden en de voorgaande vragen is het duidelijk dat je bij een steekproef uit een grote populatie al gauw een binomiale benadering kunt gebruiken. Hoe kleiner de populatie, hoe scherper je op moet letten.

Je moet nagaan of een binomiale benadering gebruikt mag worden. Als je steekproef uit de helft van de populatie bestaat is een binomiale benadering meestal niet zo veel meer waard, ongeacht de grootte van de populatie zelf.

Opgave 8

Het is een steekproef en dus een situatie zonder terugleggen. Maar omdat de steekproef heel klein is ten opzichte van het totale aantal basisschoolleerlingen (en omdat er telkens sprake is van twee uitkomsten, namelijk wel of niet rechtshandig), mag je deze kans berekenen alsof het een binomiale situatie is met `n = 30` en `p = 0,9` .

`text(P)(X lt 25| n = 30 text( en ) p = 0,9) = text(P)(X le 24 | n = 30 text( en ) p = 0,9) ~~ 0,0732`

Opgave 9

`text(P)(J=0) = 12/20 * 11/19 * 10/18 ~~ 0,1930`

`text(P)(J=1) = 3 * 8/20 * 12/19 * 11/18 ~~ 0,4632`

`text(P)(J=2) = 3 * 8/20 * 7/19 * 12/18 ~~ 0,2947`

`text(P)(J=3) = 8/20 * 7/19 * 6/18 ~~ 0,0491`

GR: `text(E)(J) = 1,2` en `σ(J) ~~ 0,80`

Opgave 10

Dit is een trekking van `4` uit `20` zonder terugleggen.

`X` is het aantal bonbons uit het groepje van `4` dat een roomvulling heeft.

`text(P)(X=1) = 4 * 5/20 * 15/19 * 14/18 * 13/17 ~~ 0,4670`

De gevraagde kans is `text(P)(X ge 2) = 1 - text(P)(X=0) - text(P)(X=1)` .

`text(P)(X=1) ~~ 0,4670` (zie a)

`text(P)(X=0) = 15/20 * 14/19 * 13/18 * 12/17 ~~ 0,2817`

`text(P)(X ge 2) ~~ 0,2487`

`text(P)(X=3) = 4 * 5/20 * 4/19 * 3/18 * 15/17 ~~ 0,0310`

Opgave 11

`10` % van `1000` is `100` .

`X` is het aantal blikken dat te oud is.

`text(P)(X=3)=((8),(3))*100/1000*99/999*98/998*900/997*899/996*898/995*897/994*896/993~~0,0326`

`text(P)(X = 3) = (((100),( 3)) * (( 900),( 5) )) / (((1000),(8))) ~~ 0,0326`

`text(P)(X = 3 | n = 8 text( en )p = 0,1)~~ 0,0331`

Het verschil is afgerond `0,0004` .

Binomiaal benaderd: `text(P)(x≤3 |n=8 text( en ) p=0,1 )≈0,995`

Opgave 12

Stochast `X` geeft het aantal flessen met een gebrek in de steekproef. Deze stochast is in principe hypergeometrisch verdeeld maar mag binomiaal benaderd worden, omdat het om slechts `20` flessen uit een grote partij gaat.

Hierbij hoort: `p=0,05` . De partij wordt goedgekeurd als `X le 1` .

De gevraagde kans is: `text(P)(X le 1 |n=20 text( en ) p=0,05 ) ≈ 0,7358` .

De kans dat een partij van `20` flessen wordt goedgekeurd, is ongeveer `0,7358` (zie het antwoord van a). Dus de kans dat de partij wordt afgekeurd, is ongeveer `1-0,7358=0,2642` .

De verwachtingswaarde is dat `8 * 0,2642 ~~ 2` afnemers de partij afkeuren.

Opgave 13

`text(P)(3 text( klaveren-, ) 3 text( ruiten-, ) 3 text( harten- en )4 text( schoppenkaarten))=` ` (((13),(3)) * ((13),(3)) * ((13),(3)) * ((13),(4))) / (((52),(13))) = 0,0263...`

Er zijn echter meer mogelijkheden: bijvoorbeeld `3` schoppen-, `3` klaveren-, `3` ruitenkaarten, en `4` hartenkaarten. Zo kom je op:

`text(P)(text(vlakke verdeling)) = 4 *0,0263...~~ 0,1054`

Opgave 14

In een verschilrooster zie je de mogelijke verschillen.

verschil	2	4	6	8	10
2	0	2	4	6	8
4	2	0	2	4	6
6	4	2	0	2	4
8	6	4	2	0	2
10	8	6	4	2	0

De mogelijke verschillen zijn `2` , `4` , `6` en `8` .

`text(P)(X=2) = 2 * 4 * 1/5 * 1/4 = 0,4`

`text(P)(X=4) = 2 * 3 * 1/5 * 1/4 = 0,3`

`text(P)(X=6) = 2 * 2 * 1/5 * 1/4 = 0,2`

`text(P)(X=8) = 2 * 1 * 1/5 * 1/4 = 0,1`

`text(E)(V)=0,4*2+0,3*4+0,2*6+0,1*8=4`

`text(Var)(V)=0,4*(2-4)^2+0,3*(4-4)^2+0,2*(6-4)^2+0,1*(8-4)^2=4`

`sigma(V)=sqrt(text(Var)(V))=2`

Opgave 15Politieke partij

Politieke partij

De verwachtingswaarde is `0,4*4=1,6` .
`1` of `2` personen zijn naar verwachtingswaarde jonger dan 28 jaar.

Van de `20` personen zijn er `0,4 * 20 = 8` jonger dan 28 jaar.

Het betreft een trekking van `4` uit `20` zonder terugleggen.

`X` is het aantal personen in het groepje van `4` dat jonger is dan 28 jaar.

`text(P)(X=3) = ((4),(3)) * 8/20 * 7/19 * 6/18 * 12/17 ~~ 0,1387`

In dit geval zijn er van de `n` personen `0,4*n` jonger dan 35 jaar.

De kans is: `3*(0,4n)/n*(0,4n-1)/(n-1)*(0,6n)/(n-2)=(0,72n(0,4n-1))/((n-2)(n-1))`

De binomiale benadering van de kans is `text(P)(X=2)=3*0,4^2*0,6=0,288` .

Voer in: `y_1=(0,72x(0,4x-1))/((x-1)(x-2))`

Kijk in de tabel wanneer `y_1` minder dan `0,001` verschilt met `0,288` .

In de tabel kun je aflezen dat als `x ge 143` het verschil kleiner is dan `0,001` . Dus `n` moet minstens `143` zijn.

Opgave 16Steaks

Steaks

Noem de grootte van de lading steaks `N` .

Hypergeometrisch gezien is de uitdrukking van de besproken kans: `((5),(2))*2/N*1/(N-1)*(N-2)/(N-2)*(N-3)/(N-3)*(N-4)/(N-4)=20/(N*(N-1))` .
Noem deze uitdrukking `f(N)` .

De binomiale kansbenadering is: `((5),(2))*(2/N)^2*((N-2)/N)^3=(40*(N-2)^3)/(N^5)` .
Noem deze uitdrukking `g(N)` .

Het verschil tussen `f` en `g` mag hooguit `0,0025` zijn: `|f(N)-g(N)| le 0,0025`

Met behulp van de GR vind je dat het aantal steaks minimaal `83` moet zijn. (Bij `11` steaks is het verschil ook kleiner dan `0,0025` . Aangezien `N gt 20` valt deze echter buiten de oplossing.)

Opgave 17

De greep van `4` is een trekking zonder terugleggen. Bij een binomiaal verdeelde stochast gaat het om een trekking met terugleggen.

`G` is hypergeometrisch verdeeld.

`text(P)(X=0) ~~ 0,0181`

`text(P)(X=1) ~~ 0,1445`

`text(P)(X=2) ~~ 0,3685`

`text(P)(X=3) ~~ 0,3573`

`text(P)(X=4) ~~ 0,1117`

`~~2,4 ~~ 2` gele balletjes.

Opgave 18

`~~0,9929`

Opgave 19

`~~0,0086`

`~~0,0372`

`~~0,0007`

`~~0,000000224`

verder | terug