Discrete kansmodellen > PoissonverdelingAntwoorden van de opgaven
De kansverdeling van `X` bestaat uit de zeshonderd uitkomsten 1 t/m 600 met ieder dezelfde kans `1/600` . `text(E)(X)` en `sigma(X)` op de algemene manier berekenen is nu een enorm karwei. Gelukkig kan het korter: puzzel zelf maar eens.
Van discrete stochast `T` , het aantal troostprijzen in PolderWei bij `1` trekking, is geen vaasmodel te maken. Bijvoorbeeld is het maximum aantal troostprijzen niet bekend.
Dat betekent dat `T` niet binomiaal of hypergeometrisch verdeeld is.
Kenmerken van stochast
`T`
: het betreft de ontvangst van een troostprijs in PolderWei bij een trekking, is een
relatief zeldzame gebeurtenis bij een afgebakend moment in een afgebakende omgeving.
Zo’n stochast kent een specifieke verdeling: een Poisson verdeling. Zie verder de
`text(P)(X=4)=(3^4)/(4!)*text(e)^(text(-3))~~0,1680`
`text(P)(X=5)=(3^5)/(5!)*text(e)^(text(-)3)~~0,1008`
`text(P)(X>1)=1-text(P)(X le 1)=1-text(P)(X=0)+text(P)(X=1)`
`text(P)(X=0)=(3^0)/(0!)*text(e)^(text(-)3)=0,04978...`
`text(P)(X=1)=(3^1)/(1!)*text(e)^(text(-)3)=0,14936...`
Hieruit volgt dat `text(P)(X>1)~~0,8009` .
Gemiddeld krijgt het bedrijf `5*3=15` telefoontjes in een week binnen.
De kans op `16` telefoontjes in een werkweek is `15^16/(16!)*text(e)^(text(-)15)~~0,0960` .
Een dag van `8` uur bevat `28800` seconden.
Als je een dag in seconden verdeelt en stelt dat de kans `3/28800` dat er in een seconde een telefoontje binnenkomt, dan geldt:
`text(P)(X=4)=((28800),(4))*(3/28800)^4*(28797/28800)^(28796)~~0,1680`
Uit `np=3` volgt dat `p=3/n` . De kans op succes in zo'n tijdsinterval is daarom `3/n` . De kans op geen succes is dus `1-3/n` . Je hebt een Bernoulli-experiment met parameters `n` en `3/n` en je wilt de kans weten dat er vier keer succes is. Hieruit volgt dat:
`text(P)(X=4)=((n),(4))*(3/n)^4*(1-3/n)^(n-4)`
`((n),(4))*(3/n)^4=(n(n-1)(n-2)(n-3))/(4!)*(3/n)^4=(n(n-1)(n-2)(n-3))/(n^4)*(3^4)/(4!)`
`lim_(n rarr oo)(n(n-1)(n-2)(n-3))/(n^4)=lim_(n rarr oo)1(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)=1*1*1*1=1`
Gegeven is dat `lim_(n rarr oo)(1-3/n)^(n-4)=text(e)^(text(-)3)` .
Hieruit volgt dat:
`lim_(n rarr oo) ((n),(4))*(3/n)^4*(1-3/n)^(n-4)=lim_(n rarr oo)(n(n-1)(n-2)(n-3))/(n^4)*(3^4)/(4!)*(1-3/n)^(n-4)=3^4/(4!)*text(e)^(text(-)3)`
Voor een binomiaal verdeelde stochast geldt dat de variantie gelijk is aan `n*p*(1-p)` .
`n*p=3` en dus `p=3/n` .
`text(Var)(X)=lim_(n rarr oo)n*p*(1-p)=lim_(n rarr oo) 3(1-3/n)=3*1=3`
Het jaargemiddelde, `λ_text(jaar)` , is gelijk aan de verwachtingswaarde per jaar. De verwachtingswaarde per jaar is de som van de verwachtingswaarden per week. Je mag ervan uitgaan dat de vulkaanuitbarstingen onafhankelijk van elkaar zijn. Dus het aantal uitbarstingen in de ene week is onafhankelijk van het aantal uitbarstingen in een andere week. `λ_text(jaar)/52=λ_text(week)`
De verwachtingswaarde per maand is `60/12=5` .
`text(P)(X = 7 | λ = 5)=5^7/(7!)*text(e)^(text(-)5) ~~ 0,1044`
Het gaat om gebeurtenissen in een vaste tijdsperiode die onafhankelijk zijn van elkaar.
Stochast `K` , het aantal klanten per uur is een Poissonverdeelde stochast met `λ = 7` .
Te berekenen: `text(P)(K lt 7 | λ = 7)` en deze kans is gelijk aan `text(P) (K le 6 | λ = 7)` .
GR: `text(P) (K le 6 | λ = 7) ~~ 0,4497` .
Voer in: `text(poissoncdf)(7,6)` .
Bedenk: `text(E)(X) =λ` bij een Poissonverdeelde stochast `X` met parameter `lambda` .
Als stochast `H` het aantal klanten per twee uur is en stochast `K` het aantal klanten per uur, dan geldt volgens de somregel van de verwachtingswaarde: `text(E)(H) = text(E)(2K) = 2 * text(E) (K)` Omdat ze beide Poissonverdeeld zijn, geldt dus: `λ_H= 2 * λ_K= 2 * 7 = 14` .
`text(P)(K=7 | λ = 14) = ((14^7)/(7!))*text(e)^(text(-)14)~~ 0,0174`
Je kunt het ook op de GR berekenen met `text(poissonpdf)(14,7)` .
Omdat `K` , het aantal klanten per uur, een Poissonverdeelde stochast is, geldt dat `text(Var)(K) = λ = 7` .
En dan geldt: `σ(K) = sqrt( text(Var) (K)) = sqrt(7) ~~ 2,65` klanten.
Voer in: `text(poissoncdf)(1,3)`
`text(P)(X < 4)~~0,9870`
Gemiddeld maakt de secretaresse `5` fouten per vijf bladzijden.
Voer in: `1-text(poissoncdf)(5,5)`
`text(P)(X ge 6)=1-text(P)(X le 5)~~0,3840`
Stochast `B` , het aantal bugs per `500` regels code, vat je op als een Poissonverdeelde stochast: het betreft gebeurtenissen binnen een afgebakende ruimte die onafhankelijk van elkaar zijn.
Er is gegeven dat `λ = 3` .
`text(P)(B = 0 | λ = 3) = (3^0)/(0!) * text(e)^(text(-)3) ~~ 0,0498`
Of GR met invoer: `text(poissonpdf)(3,0)` .
`4 * text(E) (B) = 4 * 3 = 12` bugs
Er geldt: `λ_B =text(E)(B) = 3` .
Stochast `V` is het aantal bugs in `4` stukken code van ieder `500` regels. Er geldt: `λ_V = text(E) (V) = 4 * text(E) (B) = 4 * 3 = 12` .
`text(P)(V > 3 | λ = 12) = 1 - text(P)(V < = 3 | λ = 12) ~~ 0,9977`
Voer in: `1-text(poissoncdf)(12,3)`
Klanten komen meestal in groepen naar een restaurant.
Als een kip een ei heeft gelegd, dan duurt het even voordat de kip weer een ei kan leggen.
In beide gevallen is er niet voldaan aan de voorwaarden voor een Poissonverdeling.
Het betreft een telling van een gebeurtenis binnen een bepaalde tijdsperiode. Vat stochast `X` , het aantal bezoekers per vijf minuten tussen 10:00 en 11:00 uur, op als een Poissonverdeelde stochast met `λ = 6` per vijf minuten.
Dan geldt:
`text(E)(X) = text(Var)(X) = λ = 6`
`text(σ)(X) = sqrt(text(Var)(X)) = sqrt(6) ~~ 2,45`
`text(P)(X=6 | λ=6) = (6^6)/(6!) * text(e)^(text(-)6) ~~ 0,1606`
Op de GR kun je dit uitrekenen met `text(poissonpdf)(6,6)` .
De gevraagde kans is `text(P)(X gt 4 | λ=6)=1 - text(P)(X le 4 | λ=6)~~0,7149` .
Voer in: `1-text(poissoncdf)(6,4)`
Het is een Poissonverdeling, want het betreft hier een relatief zeldzame gebeurtenis in een vaste tijdsperiode.
NB De werkelijkheid is ingewikkelder, omdat het ene seizoen meer kans geeft op grienden dan het andere seizoen. Je gaat er hier echter van uit dat ieder moment in een decennium een even grote kans op de komst van een griend heeft en dat hun komst onafhankelijk is van de komst van andere grienden.
De bijbehorende waarde van `λ` is gelijk aan `2` en daarmee geldt ook dat `text(E)(G) = 2` .
Voer de Poissonfunctie met `λ = 2` en het aantal grienden als variabele `x` in als formule op de grafische rekenmachine via `y_1=text(poissoncdf)(2,x)` en bekijk de tabel. Je vindt dan de kansen `text(P)(G=0)` t/m `text(P) (G=6)` .
`text(P)(G ge 7)` kun je bijvoorbeeld berekenen door de andere `7` kansen van `1` af te trekken, of met `1-text(poissoncdf)(2,6)` .
| `g` | `0` | `1` | `2` | `3` | `4` | `5` | `6` | `>= 7` |
| `text(P) (G=g)` | `0,1353` | `0,2707` | `0,2707` | `0,1805` | `0,0902` | `0,0361` | `0,0120` | `0,0045` |
Noem `S` het aantal sterretjes in een lading hagelslag op een boterham. Dan is `S` een Poissonverdeelde stochast, maar `lambda` weet je nog niet.
Voer in `y_1=text(poissonpdf)(x,0)` en bekijk de tabel. Voor `x=4` geldt `y≈0,0183` en voor `x=5` geldt `y≈0,0067` .
Dus: `λ ge 5` .
De gevraagde kans is `text(P)(S > 4 | = 2 ) = 1 - text(P)(S le 4 | = 2) ~~ 0,0527` .
Voer in: `1-text(poissoncdf)(2,4)` .
Om deze kans te kunnen berekenen, moet je weten wat de waarde van `λ` in deze situatie is. Dit gaat met de Poissonverdelingsfunctie op de GR.
Voer in: `y_1=text(poissonpdf)(x,1)` en zoek vervolgens in de bijbehorende tabel naar de waarde `0,0027` (afgerond op vier decimalen).
Je vindt: `λ = 8` .
De gevraagde kans gaat over een minuut terwijl stochast `K` het aantal klanten per kwartier is, met `λ_K= 8` .
Stochast `M` is het aantal klanten per minuut. Er geldt: `λ_M=1/15 * λ_K = 1/15 * 8 = 8/15` .
De gevraagde kans is `text(P) (M > 1 | λ = 8/15) = 1-text(P) (M le 1 | λ = 8/15) ~~ 0,1005` .
Voer in: `1-text(poissoncdf)(8/(15), 1)` of gebruik de formules voor `text(P)(M=0)` en `text(P)(M=1)` .
Stochast `D` is het aantal omgekomen manschappen door een paardentrap per melding. Maak met de gegeven frequentietabel een kansverdeling voor `D` . Met deze kansverdeling bereken je `text(E)(D)` , die gebruikt kan worden als je parameter `lambda` . Dan vergelijk je de bijbehorende poissonverdeling met de tabel.
In totaal zijn er `20 * 10 = 200` meldingen geweest.
De kansverdeling van `D` is:
| `d` | `0` | `1` | `2` | `3` | `4` | `ge 5` |
| `text(P) (D=d)` | `109/200` | `65/200` | `22/200` | `3/200` | `1/200` | `0` |
`text(E) (D) = (0 * 109/200) + (1 * 65/200) + (2 * 22/200) + (3 * 3/200) + (4 * 1/200) = 0,61`
Als de frequentieverdeling Poissonverdeeld is, dan geldt: `λ = text(E) (D) = 0,61` .
Voer in: `y_1=text(poissonpdf)(0,61;x)`
Bekijk de bijbehorende tabel voor waarden van `x=0` tot en met `x=4` . Je ziet dat deze tabel ongeveer overeenkomt met de kansverdeling van `D` .
`text(P)(X ge 5 | λ = 0,61) * 200~~0,0850` . Afgerond is dat gelijk aan `0` , net als in de daadwerkelijke frequentieverdeling.
De daadwerkelijke frequentieverdeling komt dus, bij benadering, goed overeen met de Poissonverdeling met `λ = 0,61` .
`(1-x/n)^n=(1+1/(text(-)1/x*n))^(1/x*n*x)=((1+1/(text(-)1/x*n))^(1/x*n))^(x)`
Schrijf `text(-)1/x*n=m` , dan `(1-x/n)^n=((1+1/m)^m)^(text(-)x)` .
`lim_(n rarr oo)(1-x/n)^n=lim_(m rarr oo)((1+1/m)^m)^(text(-)x)=text(e)^(text(-)x)`
Uit `np=lambda` volgt dat `p=lambda/n` . De kans op succes in zo'n tijdsinterval is daarom `lambda/n` , de kans op geen succes is dus `1-lambda/n` . Je hebt een Bernoulli experiment met parameters `n` en `lambda/n` en je moet dan `n` naar oneindig laten gaan om de kans te berekenen dat er `x` keer succes is. Hieruit volgt dat:
`text(P)(X=x| lambda) =lim_(n rarr oo)text(P)(X=x| n text( en ) p=lambda)`
`lim_(n rarr oo) text(P)(X=x| lambda)=lim_(n rarr oo)((n),(x))*(lambda/n)^x*(1-lambda/n)^(n-x)`
`((n),(x))*(lambda/n)^x=(n(n-1)(n-2)...(n+1-x))/(x!)*(lambda^x)/(n^x)=(n(n-1)(n-2)...(n+1-x))/(n^x)*(lambda^x)/(x!)`
`lim_(n rarr oo)(n(n-1)(n-2)...(n+1-x))/(n^x)=lim_(n rarr oo)1(1-1/n)(1-2/n)...(1+(1-x)/n)=1*1*1*...*1=1` (merk op dat `x` een vaste waarde heeft)
`lim_(n rarr oo)(1-lambda/n)^(n-x)=lim_(n rarr oo)(1-lambda/n)^(n)/(1-lambda/n)^x=text(e)^(text(-)lambda)` , omdat `lim_(n rarr oo)(1-lambda/n)^(x)=(1-0)^x=1` en `lim_(n rarr oo)(1-lambda/n)^(n)=text(e)^(text(-)lambda)` .
Hieruit volgt dat:
`lim_(n rarr oo)((n),(x))*(lambda/n)^x*(1-lambda/n)^(n-x)=(lambda^x)/(x!)*text(e)^(text(-)lambda)`
Voor een binomiaal verdeelde stochast geldt dat de variantie gelijk is aan `n*p*(1-p)` .
`n*p=lambda` en dus `p=lambda/n` .
`text(Var)(X)=lim_(n rarr oo) n*p*(1-p)=lim_(n rarr oo) n*lambda/n*(1-lambda/n)=lambda` (omdat `lim_(n rarr oo) lambda/n=0` )
`~~0,1353`
`~~0,3233`
`10`
`2` olijven.