Discrete kansmodellen > PoissonverdelingUitleg
Een klein bedrijf krijgt dagelijks gemiddeld `3` telefoontjes. Hoe groot is de kans dat dit bedrijf op een dag `4` telefoontjes krijgt?
De stochast `X` staat voor het aantal telefoontjes dat het bedrijf op een dag binnenkrijgt. Ga ervan uit dat er `8` uur op een dag telefoontjes binnen kunnen komen, dat er voldoende medewerkers aanwezig zijn om alles af te handelen en dat de telefoontjes onafhankelijk van elkaar en willekeurig binnenkomen.
-
Verdeel de dag in `8` uren. De kans is `3/8` dat er in een uur een telefoontje binnenkomt. De verwachtingswaarde van het aantal telefoontjes op een dag is `3/8*8=3` .
Neem `n=8` en `p=3/8` en bereken de kans op `4` telefoontjes:
`((8),(4))*(3/8)^4*(5/8)^(4)~~0,2112`
`text(Var)(X)=8*3/8*(1-3/8)=1,875` -
Verdeel de dag in `480` minuten. De kans is `3/480` dat er in een minuut een telefoontje binnenkomt. De verwachtingswaarde van het aantal telefoontjes op een dag is `3/480*480=3` .
Neem `n=480` en `p=3/480` en bereken de kans op `4` telefoontjes:
`((480),(4))*(3/480)^4*(477/480)^(476)~~0,1686`
`text(Var)(X)=480*3/480*(1-3/480)=2,98125`
Je kunt de dag in nog kleinere tijdsintervallen verdelen. Hoe kleiner de tijdsintervallen, hoe kleiner de kans op "succes" in zo'n tijdsinterval. In theorie kan er meer dan één keer "succes" zijn in een tijdsinterval, maar deze kans is nog veel kleiner en wordt daarom verwaarloosd. Je hebt nu te maken met `n` tijdsintervallen, met telkens dezelfde kans `p` op "succes" . Om te bepalen wat de kans is dat er `4` telefoontjes op een dag binnenkomen, moet je `n` naar oneindig laten gaan en `p` naar nul, maar zodanig dat `n*p=3` . Het blijkt dan dat `text(P)(X=4)~~0,1680` en dat `text(Var)(X)=3` .
Een kansverdeling die voldoet aan deze situatie wordt een Poissonverdeling genoemd. Deze kansverdeling is ontdekt door Siméon Poisson.
Stel dat het bedrijf gemiddeld `lambda` telefoontjes op een dag binnenkrijgt, dan kun je de volgende formule gebruiken:
`text(P)(X=x)=lambda^x/(x!)*text(e)^(text(-)lambda)` , waarbij `text(e)=2,718...`
Het getal `text(e)` kun je net zoals `pi` vinden op de grafische rekenmachine.
Verder geldt: `text(E)(X)=text(Var)(X)=lambda`
Kansen bij een Poissonverdeling kunnen ook met de grafische rekenmachine berekend
worden, bekijk daarvoor het
Bekijk de
Controleer met de formule dat `text(P)(X=4)~~0,1680` .
Bereken de kans dat er op een dag `5` telefoontjes binnenkomen. Rond af op vier decimalen.
Bereken de kans dat er meer dan `1` telefoontje op een dag binnenkomt. Rond af op vier decimalen.
Voor het bepalen wat de kans is dat het bedrijf in een werkweek `16` telefoontjes binnenkrijgt, kun je ook de formule uit de uitleg gebruiken. Alleen nu is `lambda` gelijk aan het gemiddeld aantal telefoontjes in een werkweek.
Bereken in vier decimalen de kans dat het bedrijf in een werkweek `16` telefoontjes binnenkrijgt.
Bekijk de
Verdeel de dag in seconden en benader de kans van `text(P)(X=4)` .
Verdeel de dag in `n` tijdsintervallen en zorg dat `np=3` met `p` de kans op succes.
Toon aan dat de kans op `4` telefoontjes op een dag als je dit binomiaal benadert, gelijk is aan: `text(P)(X=4)=((n),(4))*(3/n)^4*(1-3/n)^(n-4)`
Je mag aannemen dat `lim_(n rarr oo)(1-3/n)^(n-4)=text(e)^(text(-)3)` .
Toon aan dat `lim_(n rarr oo) ((n),(4))*(3/n)^4*(1-3/n)^(n-4)=3^4/(4!)*text(e)^(text(-)3)` .
Toon aan dat `text(Var)(X)=3` . Gebruik daarvoor de variantie van een binomiaal verdeelde stochast.