Discrete kansmodellen > Wortel-n-wetAntwoorden van de opgaven
Zie de
Zie de
Voer in de GR in: `L_1={0,......,10}` en `L_2={0,02,.....0,08}` .
1-Var Stats `L_1, L_2` geeft `text(E)(X)≈6,22` en `σ(X)≈2,56` .
`text(E)(T)=10*text(E)(X)=62,2`
en
` sigma (T)=sqrt(10)*sigma(X) ≈8,10`
Opmerking: met de niet afgeronde standaardafwijking vind je
`sigma(10X)~~8,08`
Noem de gemiddelde waarde van een schot `bar(X)` . Dan is:
`text(E)(bar(X))=(10*text(E)(X)) /10=6,22` en `sigma(bar(X))=(sqrt(10)*sigma(X)) /10≈0,81`
Dat lijkt wel logisch: naarmate je vaker schiet, zul je gemiddeld dichter bij je gemiddelde uitkomen. De spreiding om dat gemiddelde zal dus kleiner worden.
De kansverdeling van `T` is de gebruikelijke kansverdeling voor het aantal ogen bij het werpen van twee dobbelstenen:
`text(P)(T=2)=text(P)(T=12)=1/36`
`text(P)(T=3)=text(P)(T=11)=2/36`
Enzovoort.
Voer in: `L_1={2,...,12}` en `L_2={1/36, 2/36, 3/36, ..., 3/36, 2/36, 1/36}`
1-Var Stats `L_1, L_2` geeft `text(E)(T)=7` en `σ(T)≈2,42` .
Maak ook de kansverdeling voor `X` met uitkomsten 1 t/m 6 en alle kansen gelijk aan `1/6` . Bereken met de hand of met de grafische rekenmachine dat `text(E)(X) = 3,5` en dat `sigma(X) ~~ 1,71` .
Je ziet nu dat `text(E)(T) = 2 * text(E)(X)` . Je ziet ook dat `sigma(T) = sqrt2 * sigma(X)` .
`text(E)(bar(X))=(text(E)(T))/2=7/2=3,5` en `sigma(M)=(sigma(T))/2 approx 1,21`
`text(E)(bar(X)) = (text(E)(T))/ 2 = (2*text(E)(X))/ 2 = text(E)(X)`
`sigma(bar(X)) = (sigma(T))/2 = ( sqrt2 * sigma(X) )/2 = (sigma(X))/ sqrt2`
`text(E)(S)=3*text(E)(X)=10,5`
`sigma(S)=sqrt(3)*sigma(X)~~2,96`
`text(E)(bar(X))=(text(E)(S))/3=3,5`
`sigma(bar(X))=(sigma(S))/3~~0,99`
`text(E)(T) = 5 * text(E)(X) = 5 * 104,3 = 521,5`
`sigma(T) = sqrt5 * sigma(X) = sqrt5 * 3,5 ~~ 7,83`
`text(E)(bar(X)) = (text(E)(T))/5 = (521,5)/5=104,3`
`sigma(bar(X)) = (sigma(T))/5 = (sqrt(5)*3,5)/5~~ 1,57`
Stochast `X` is het gewicht van 1 pak meel.
`text(E)(G) = 10 * text(E)(X) = 10 * 1002 = 10020` gram.
`sigma(G) = sqrt10 * sigma(X) = sqrt10 * 4 ~~ 12,65` gram.
`text(E)(bar X) = (text(E)(G))/10 = (10 * 1002)/ 10 = 1002` gram.
`sigma(bar X) = (sigma(G))/10 = (sqrt10 * 4) /10 = 4/sqrt10 ~~ 1,26` gram.
Stochast `P` is het gewicht van 1 pallet meel, met `text(E)(P) = 100 * text(E)(G) = 100 * 10020 = 1002000` gram `=1002` kg, met een standaardafwijking van `sigma(P) = sqrt100 * sigma(G) = sqrt 100 * sqrt10 * 4 ~~ 126,49` gram.
Stochast `X` is het gewicht van `1` pak meel.
`text(E)(bar X) = (1002000)/ 1000 = 1002` gram.
`sigma(bar X) = (sqrt100 * sqrt10 * 4 ) /(sqrt1000) = 4` gram.
| `b` | `0` | `1` |
| `text(P)(B=b)` | `p` | `1-p` |
`sigma(B)=sqrt(np(1-p))`
`sigma(bar(B))=sqrt(np(1-p))/sqrt(n)=sqrt(p(1-p))=0,1706`
Dus `p(1-p)=0,02910436` .
Met behulp van de abc-formule vind je dat `p~~0,03 vv p~~0,97` .
Omdat er veel minder vrouwen bij de brandweer zitten dan mannen is `p~~0,97` .
`0,03*1000=30` vrouwen.
Stochast `L` is de lengte van een lootje en `R` de lengte van een rol.
Bedenk: `text(E)(R) = 1200` cm en `text(E)(R) = 200* text(E)(L)` .
Daaruit volgt dat `text(E)(L) = 1200/200 = 6` cm.
Omdat ze twee keer zo lang zijn als breed, is de breedte van een lootje ook gemiddeld `3` cm.
`σ(L) = (σ(R))/sqrt(200) = (0,8)/sqrt(200) ~~ 0,0566` cm.
Noem `B` de breedte van één lootje. Dan is `sigma(B)=1/2sigma(L)=(0,4)/sqrt(200)` cm.
Voor de breedte van een vel is de standaardafwijking `sqrt(10)*sigma(B)~~0,0894` cm;
Voor de lengte van een vel is de standaardafwijking `sqrt(5)*sigma(L)~~0,1265` cm.
Voer in: `L_1={text(-)2,text(-)1,0,2,3)` en `L_2={0,0032,...,0,2405}` .
1-Var Stats `L_1, L_2` geeft `text(E)(K) = 1,0463` knikkers en `sigma(K)~~1,4950` .
`text(E)(35K) = 35 * text(E)(K)~~36,62` en `σ(35K) = σ(K) * sqrt(35) ~~ 8,84` .
`text(E)(bar(K))=text(E)(K)~~1,05`
`σ(bar(K))= (σ(K)) / sqrt(35) ~~ 0,2527`
De kansverdeling van het getrokken getal `X` bij trekking van één balletje is:
|
`x` |
2 |
3 |
5 |
7 |
12 |
|
`text(P)(X=x)` |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
`text(E)(X)=5,8` en `σ(X)≈3,54` .
De kansverdeling van het gemiddelde van twee getrokken getallen `G` bij trekking van twee balletjes is:
| `g` | `2` | `2,5` | `3` | `3,5` | `4` | `4,5` | `5` | `6` | `7` | `7,5` | `8,5` | `9,5` | `12` |
| `text(P)(G=g)` | `0,04` | `0,08` | `0,04` | `0,08` | `0,08` | `0,08` | `0,12` | `0,08` | `0,12` | `0,08` | `0,08` | `0,08` | `0,04` |
`text(E)(G) = 5,8` en `sigma(G) ~~ 2,51` .
De verwachtingswaarden zijn gelijk.
`(sigma(X))/(sqrt(2)) approx 2,51`
`sigma(G) = (sqrt((sigma(X))^2 + (sigma(X))^2))/2 = (sqrt(2) * sigma(X))/2 = (sigma(X))/(sqrt(2))`
Noem `Y` het getrokken getal bij trekking van één balletje. Omdat de uitkomsten van de trekkingen zelf verdubbeld worden (dus niet het aantal trekkingen) worden de verwachtingswaarde en standaardafwijking:
`text(E)(Y)=2*text(E)(X)` en `sigma(Y)=2*sigma(X)` , en dus ook
`text(E)(H)=2*text(E)(G)` en `sigma(H)=2*sigma(G)` , ofwel
`text(E)(H)=11,6` en `sigma(H)~~5,01` .
`H` is hoogte van één doos en `text(E)(H)=10` en `σ(H)=0,4` cm.
Voor `15` dozen: gemiddelde hoogte is `10*15=150` met standaardafwijking `sqrt(15 )*0,4 ≈1,55` cm.
De standaardafwijking van een stapel mag maximaal
`1,9`
cm zijn om in de vrachtwagen te passen.
Dus er geldt
`sqrt(n)*0,38≤1,9`
, zodat
`n≤25`
.
Stochast `X` , het aantal verkoopbare appels, is een binomiale stochast met `n = 100` en `p = 0,92` .
`text(P)(X < 85)=text(P)(X le 84)≈ 0,0058`
Bij `100` appels kunnen er naar verwachting `n*p=100 *0,92 =92` worden verkocht met een standaardafwijking van `sqrt(np(1-p))=sqrt(100*0,0736) ≈ 2,71` .
Verwachtingswaarde `n*p=600* 0,92 =552` met standaardafwijking `sqrt(np(1-p))=sqrt(600 *0,0736)~~6,65` .
Je weet dat `sigma(bar(X))=sqrt(p(1-p))/sqrt(n)` .
Invullen levert `sqrt(p(1-p))/sqrt(500)=0,0179` ; ofwel `p(1-p)=0,160205` .
Met behulp van de abc-formule vind je dat `p~~0,2` of `p~~0,8` .
Omdat vaste telefoonverbindingen verouderd zijn, is het aannemelijk om te zeggen dat er een grote kans bestaat dat vooral oudere mensen zo'n telefoonverbinding hebben. Dus `text(P)(X=1)~~0,8` .
Stochast `W` is de winst per spel voor Mila.
Kansverdeling:
| uitslag | eerste draaiwiel een 1 | beide draaiwielen het hoogste nummer | andere combinatie |
| uitgekeerd bedrag | `0` | `6` | `3` |
| winst `w` | `text(-)2,5` | `3,5` | `0,5` |
| `text(P)(W=w)` | `1/3` | `1/3 * 1/2 = 1/6` | `1 - 1/3 - 1/6 = 1/2` |
`text(E)(W) = 0` euro en `σ(W) ~~ 2,06` euro.
Stochast `T` is de totale winst voor Mila na `12` keer spelen.
`text(E)(T) = 12 * text(E)(W) = 0` euro.
`σ(T) = sqrt(12) * σ(W) ~~ 7,14` euro.
Mila's winst van `5,5` euro wijkt `(5,5) / (7,14) ~~ 0,77` ofwel minder dan `1` standaardafwijking af van de verwachte winst na `12` keer spelen. Haar winst is dus niet uitzonderlijk hoog, want de standaardafwijking is op zich de gemiddelde afwijking van het gemiddelde.
Stel eerst de kansverdeling op uitgedrukt in `p` en `q` :
| `x` | `0` | `1` | `2` |
| `text(P)(X=x)` | `1-p-q` | `p` | `q` |
Je weet dat `text(E)(bar(X))=text(E)(X)=1,7` en `text(Var)(bar(X))=(text(Var)(X))/500` , dus `text(Var)(X)=500*0,00062=0,31` .
Er geldt:
-
`text(E)(X)=(1-p-q)*0+p*1+q*2=1,7`
-
`text(Var)(X)=(0-1,7)^2*(1-p-q)+(1-1,7)^2*p+(2-1,7)^2*q=0,31`
Uitwerken levert het volgende stelsel op:
`{ (p+2q , = , {:1,7:} ), ({:2,89:}-{:2,4:}p-{:2,8:}q , = , {:0,31:} ) :}`
De bovenste vergelijking geeft `p=1,7-2q` en die kun je substitueren in de onderste. Je krijgt de vergelijking `2,89-2,4(1,7-2q)-2,8q=0,31` . En dit geeft `q=0,75` . Nu kun je de hele kansverdeling opstellen:
| `x` | `0` | `1` | `2` |
| `text(P)(X=x)` | `0,05` | `0,2` | `0,75` |
`text(E)(X)=9` en `σ(X)≈4,47` .
`text(E)(S)=18` en `σ(S)≈6,32` .
`text(E)(S)=2 *text(E)(X)` en `σ(S)=sqrt(2 )*σ(X)` .
`text(E)(G) = 9 = text(E)(X)` en `σ(G) ≈ 3,16 ~~ (σ(X))/sqrt(2)` .
`text(E)(Som) = 27` en `σ(Som) ~~ 7,74`
`text(E)(Gem) = 9` en `σ(Gem) ~~ 2,58`
Lengte: `3,875` cm met standaardafwijking `0,0375` cm.
Breedte: `3,1` cm met standaardafwijking `0,0335` cm.