Discrete kansmodellen > Wortel-n-wetUitleg
Een boogschutter schiet `20` keer op de roos ( `0` , `1` , `2` , ..., `10` punten te behalen).
Haar kansverdeling per schot is:
|
`x` |
`0` |
`1` |
`2` |
`3` |
`4` |
`5` |
`6` |
`7` |
`8` |
`9` |
`10` |
|
`text(P)(X=x)` |
`0,02` |
`0,02` |
`0,04` |
`0,10` |
`0,09` |
`0,11` |
`0,12` |
`0,12` |
`0,15` |
`0,15` |
`0,08` |
De stochast `X` is het aantal punten dat de boogschutter behaalt met één keer schieten, stochast `T` is het aantal punten bij `20` herhalingen.
De verwachtingswaarde per schot is `6,22` punten met een standaardafwijking van ongeveer `2,56` punten. Omdat elk schot onafhankelijk is van het voorgaande, kun je zowel de optelregel voor verwachtingswaarden als die voor varianties toepassen: `text(E)(T)=text(E)(X+X+... +X)=text(E)(X)+text(E)(X)+... +text(E)(X)=20 *text(E)(X)` en `text(Var)(T)=text(Var)(X+X+... +X)=` `text(Var)(X)+text(Var)(X)+... +text(Var)(X)=20 *text(Var)(X)` .
Dus bij het totaal van `20` schoten is:
-
de verwachtingswaarde `text(E)(T)≈20 *6,22 =124,4` punten
-
de standaardafwijking `σ(T)=sqrt(20 *text(Var)(x))=sqrt(20 * (σ(X)) ^2)=sqrt(20 )*σ(X)≈` `11,45` punten
Voor het gemiddelde aantal punten per schot deel je deze getallen door
`20`
. De verwachtingswaarde wordt dan weer
`6,22`
. Maar de standaardafwijking wordt ongeveer
`(11,45)/20≈0,57`
en dus veel kleiner dan bij één schot.
Dit heet de wortel-n-wet.
In de
Controleer dat `text(E)(X)=6,22` en `σ(X)≈2,56` .
Hoeveel punten verwacht je te halen als je tien keer op die roos schiet? En met welke standaardafwijking?
Hoeveel punten verwacht je gemiddeld per schot te halen als je tien keer op die roos schiet? Met welke standaardafwijking?
Ligt het voor de hand dat de standaardafwijking kleiner wordt naarmate de boogschutter vaker op de roos schiet?
`X` stelt het aantal ogen voor dat boven komt bij het werpen met een dobbelsteen.
`T` stelt het aantal ogen voor als je met twee dobbelstenen werpt. Maak een kansverdeling van `T` en bereken `text(E)(T)` en `σ(T)` . Rond indien nodig af op twee decimalen.
Welk verband is er tussen `text(E)(X)` en `text(E)(T)` en tussen `σ(X)` en `σ(T)` ?
`bar(X)` is het gemiddelde aantal ogen per worp als je met twee dobbelstenen werpt. Bereken `text(E)(bar(X))` en `σ(bar(X))` . Rond af op twee decimalen.
Welk verband is er tussen `text(E)(X)` en `text(E)(bar(X))` en tussen `σ(X)` en `σ(bar(X))` ?
`S` stelt het aantal ogen voor als je met drie dobbelstenen werpt, en `bar(X)` het gemiddelde aantal ogen per worp als je met drie dobbelstenen werpt. Bereken `text(E)(S)` , `sigma(S)` , `text(E)(bar(X))` en `sigma(bar(X))` , zonder een kansverdeling op te stellen. Rond indien nodig af op twee decimalen.