Discrete kansmodellen > Totaalbeeld
1234567Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1
a

De kansverdeling van de uitbetaling per polis `U` wordt:

`u` `200000` `50000` `2500` `0`
`text(P)(U=u)` `0,0001` `0,001` `0,02` `0,9789`

`text(E)(U)=0,0001*200000+0,001*50000+0,02*2500=120`

De gemiddelde uitbetaling is € 120,00.

b

De kosten per polis zijn € 120. Om `10` % winst te maken per polis, zal de maatschappij dus `120 + 12 = 132` euro premie per volledige polis van € 80.000 moeten vragen.

Nu is `132/80=1,65` dus een premie van € 1,65 per € 1000 verzekerd bedrag.

Opgave 2
a

Stochast `X` is het aantal personen in de steekproef met bloedgroep O en deze is binomiaal verdeeld met `n=50` en `p=0,467` .

`text(P)(X≥30) = 1 - text(P)(X < =29)≈0,0407`

Voer in: `1-text(binomcdf)(50; 0,467; 29)` .

b

`text(E)(X) = n*p = 50 *0,467 =23,35`

`sigma(X)=sqrt(n*p*(1-p))= sqrt(50 *0,467 *0,533)≈3,5278`

c

`text(E)(10 X) = 10*text(E)(X) =10 *23,35 =233,5`

`sigma(10X)=sqrt(10)*sigma(X)≈11,1560`

d

`text(E)(bar(X)) = (text(E)(10 X)) /10 = (233,5) / 10 = 23,35`

`σ(bar(X)) = (σ(10 X) )/ 10 = (σ(X) )/ sqrt(10) ~~ 1,1160`

Opgave 3
a

Stochast `Z` is het aantal tulpenbollen per zak.

`text(E)(8*Z) = 8 * text(E)(Z) = 8 * 40 = 320`

`σ(8*Z) = sqrt(8) * 1,5 ~~ 4,2426`

b

`text(E)(bar(Z))=(text(E)(8Z))/8=40`

`sigma(bar(Z))=(sigma(8Z))/8=(sigma(Z))/sqrt(8)~~0,5303`

c

`2` zakken tulpenbollen correspondeert met een gemiddelde `80` tulpenbollen.

Stel nu dat `T` het aantal gebruikte tulpenbollen per dag is. `T` een Poissonverdeelde stochast met `80=5*lambda` , ofwel `lambda=16` .

`text(P)(X>20|lambda=16)=1-text(P)(X le 20|lambda=16)~~0,1318`

Voer in: `1-text(poissoncdf)(16,20)`

Opgave 4
a

Hier is sprake van een situatie zonder terugleggen en er zijn twee mogelijke uitkomsten (wel of geen prijs): het betreft een hypergeometrisch kansmodel.

Er zijn `19` getallen: `3` goed en `16` fout.

Je krijgt een prijs bij `2` of `3` goed, de kans daarop is:

`3/19*2/18*16/17*3 +3/19*2/18*1/17≈0,051`

b

Stochast `X` is het aantal prijzen per week en is binomiaal verdeeld met onbekende `n` en `p=0,05` .

Eis: `text(P)(X≥4 |n=a text( en ) p=0,05 ) < 0,01` ofwel `text(P)(X≤3 |n=a text( en ) p=0,05 )>0,99` .

Voer in: `text(binomcdf)(x; 0,05; 3)` en bekijk de tabel.

Je vindt `a le 17` , dus het maximale aantal deelnemers is `17` .

Opgave 5
a

Maak eventueel twee roosters met een overzicht van alle sommen en producten.

Er zijn `5` manieren om een som van `6` te gooien en `4` manieren om een product van `6` te gooien. Bovendien zijn er in totaal `36` mogelijke uitkomsten.

`text(P)(X=6 )=5/36` en `text(P)(Y=6 )=4/36` en dus geldt dat `text(P)(X=6 )` het grootste is.

b

`text(P)(X=7) = 6/36 = 1/6`

`X` is hier een binomiale stochast.

`text(P)(X=5 | n=20 text( en ) p=1/6) ~~ 0,1294`

c

`text(P)(Y text( oneven)) = 9/36 = 0,25` en `text(P)(Y text( even)) = 27/36=0,75` .

Noem `W` de winst die persoon A bij één worp maakt, dan is de kansverdeling van `W` :

`w` `text(-)3` `9`
`text(P)(W=w)` `0,75` `0,25`

Dus `text(E)(W)=0,75*text(-)3+0,25*9=0` . Dit betekent dat de afspraak eerlijk is, omdat de winstverwachting niet in het voordeel ligt van één van de spelers.

d

`10` even en `0` oneven: A verliest € 30,00.
`9` even en `1` oneven: A verliest € 18,00.
`8` even en `2` oneven: A verliest € 6,00.

In alle andere gevallen maakt A winst.

Als `K` de binomiale stochast is van het aantal keren dat dat je een even product werpt, dan is de gevraagde kans `text(P)(K≤7 |n=10 text( en ) p=0,75 )≈0,4744` .

Voer in: `text(binomcdf)(10; 0,75; 7)` .

Opgave 6
a

Stochast `B` is een hypergeometrische stochast, maar kan worden benaderd als een binomiale stochast en als een Poissonverdeelde stochast.

Hypergeometrisch: uit de totale bevolking van de Salomonseilanden worden `125` mensen zonder terugleggen gekozen. Er is succes als de persoon van nature blond is.

Binomiaal: `125` keer herhaal je het aselect kiezen van een Salomonseilander en alle `125` keren is de succeskans dat de betreffende persoon van nature blond is `8` %.

Dit mag omdat er een grote hoeveelheid Salomonseilanders is ten opzichte van de steekproef van `125` mensen.

Poissonverdeeld: een percentage van `8` % wil zeggen dat dit een relatief zeldzame gebeurtenis is (het kiezen van een van nature blond persoon in de steekproef). Omdat de steekproef aselect gekozen wordt, gaat het ook om onafhankelijke gebeurtenissen. Bovendien is het een zeldzame gebeurtenis op een afgebakende plek: de Salomonseilanden.

b

Binomiaal benaderd heb je `n = 125` en `p = 0,08` .

De gevraagde kans is:

`text(P)(B > 5 | n = 125 text( en ) p = 0,08) = 1 - text(P)(B le 5 | n = 125 text( en ) p = 0,08) ~~ 0,9405`

Voer in: `1-text(binomcdf)(125; 0,08; 5)` .

Voor de Poissonverdeelde benadering moet je een verwachte hoeveelheid blonde mensen per `125` eilanders hebben. Vanuit het binomiale kansmodel kun je berekenen: `text(E)(B) = n * p = 125 * 0,08 = 10` mensen met blond haar.

Dat betekent `λ = 10` . De gevraagde kans is:

`text(P)(B > 5 | λ = 10) = 1 - text(P)(B le 5 | λ = 10) ~~ 0,9329`

Voer in: `1-text(poissoncdf)(10,5)` .

Opgave 7Sinterklaascadeautjes
Sinterklaascadeautjes
a

Neem aan dat er `a` pakjes van `9` euro in zitten, dan zijn er `1000 - a` pakjes van `1` euro. De totale waarde is `3000` euro. En `9 *a+1 *(1000 - a)=3000` geeft `a=250` .
`text(P)(text(pakje van 1 euro))` `=0,75` .

b

Dan moet `text(P)(X=4 |n=20 text( en ) p=p_0 ) < 0,1896` zijn als `X` het aantal pakjes van `9` euro aangeeft. Hieruit volgt `p_0 =0,25` . De kans op pakje van 1 euro is `0,75` .

c

`text(P)(Y ge 14 |n=20 text( en ) p=0,75 )≈0,7858` .

d

De kans is `2 *0,25 *0,75 =0,375` .

e

Nu moet gelden: `text(P)(Y=1 |n=a text( en ) p=0,25 )=0,3560` . Met de GR vind je: `a=6` . Je moet dus `6` pakjes uit de mand halen.

f

Opbrengst is `1000 *5 =5000` euro. De kosten zijn: `3000` euro. De winst is dus `2000` euro.

g

`50` pakjes kosten € 250. `52` % hiervan is € 130. Ieder pakje kost minstens `1` euro: de opbrengst is € 50. Dus 80 euro moet komen uit het ruilen van een 1 euro-pakje voor een 9 euro-pakje. Er moeten dus `10` pakjes van 9 euro genomen worden.
`text(P)(Y=10 |n=50 en p=0,25 )≈0,0985` .

h

`3` pakjes kosten `15` euro. De waarde is minder als je er geen of `1` pakje van 9 euro neemt. De kans is `text(P)(Y≤1 |n=3 text( en ) p=0,25 )≈0,8438` .

Opgave 8Pijnstillers
Pijnstillers
a

`text(P)(X ge 40 |n=50 text( en ) p=0,60 )≈0,0022` .

b

`text(P)(25 le X le 44 |n=50 text( en ) p=0,60 )≈0,9427` .

c

`text(P)(X ge 37 |n=50 text( en ) p=0,60 )≈0,0280` .

Opgave 9Kansspelen
Kansspelen
a

Je winstverwachting is `0 *1/6+1 *5/6*1/6+2 * (5/6) ^2*1/6+2^2* (5/6) ^3*1/6+...-10` .
Je ziet snel dat dit getal steeds groter wordt naarmate het langer duurt tot je een zes gooit. Je winstverwachting is erg positief!

b

Je moet twee toevalsgetallen `x` en `y` simuleren die samen kleiner zijn dan `10` . En dan naar kansen gaan kijken.
Als `x^2+y^2 = (10-x-y)^2` is de driehoek rechthoekig, als `x^2+y^2 gt (10-x-y)^2` is de driehoek scherphoekig.

c

Een echte onderzoeksopdracht.

Opgave 10Verscheidenheid van achternamen
Verscheidenheid van achternamen
a

`text(P)(M_0 (2 ) text( en ) M_(11 )(1 ) text( en ) M_(12 )(0 ))=0,2093 *0,3643 *0,3172 ≈0,024` .

b

`text(P)(M_0 (1 ) text( en ) M_1 (2 ) text( en ) M_(21 )(0 ) text( en ) M_(22 )(0 ))=0,3643 *0,2093 *0,3172 *0,3172 ≈0,008` .

c

Er mogen geen trouwende zoons zijn:
`text(P)(text(eerste familie niet en 2de familie niet)) = 0,3172 *0,3172 ≈0,1006` . Dus ongeveer `10` %.

d

`text(P)(text(meer dan één keer))=1 – text(P)(text(niet, niet))– text(P)(text(één keer))` .
`text(P)(text(niet, niet)) ≈0,1006` .
`text(P)(text(één keer)) =0,3172 *0,3643 *2 ≈0,2311` .
De gevraagde kans is ongeveer `1 -0,1006 -0,2311 =0,6683` , dus ongeveer `67` %.

e

Stochast `X` geeft het aantal namen dat niet terugkomt. Je moet dan berekenen: `text(P)(X=5 |n=20 en p=0,3172 )≈0,1627` . Dus ongeveer `16` %.

f

Uit de gegeven tabel volgt: `text(E)(X)≈1,146` .

(bron: examen wiskunde A vwo 1989, tweede tijdvak, opgave 3)

verder | terug