Continue kansmodellen > Continue stochast
123456Continue stochast

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

P ( T 4 ) = 0,16 + 0,19 + 0,19 + 0,15 = 0,69

b

Dit is de oppervlakte van de eerste vier staafjes van het staafdiagram.
Het is ook de oppervlakte onder het lijndiagram vanaf t = 0 tot t = 4 .

c

De kans dat een klant hoogstens 4,75 minuten transactietijd kost kun je benaderen door de oppervlakte te schatten onder de kromme lijn die de middens van de bovenkanten van de staafjes verbindt vanaf t = 0 tot t = 4,75 .

Opgave 1
a

Doen, zie Voorbeeld 1.

b

0,16 + 0,19 + 0,19 = 0,54

c

T is een continue stochast omdat de tijd vloeiend verloopt, alle waarden vanaf 0 tot heel groot (in de praktijk tot aan 12) kan aannemen.

d

Je schatting zal weinig verschillen van het antwoord bij b.

e

Omdat je bij een continue variabele rekening moet houden met afrondingen en alle waarden tot 3,5 op 3 worden afgerond.

Opgave 2
a

P ( 2,5 T < 3,5 ) 0,17

b

P ( T 2,5 ) 0,55

c

100%

Opgave 3
a

De kansdichtheidsfunctie beschrijft de vorm van de kromme lijn die je door de middens van de bovenkanten van de staafjes van de kansverdeling kunt trekken. Pas als je die functie weet kun je door integreren de werkelijke kansen berekenen.

b

P ( 2,5 < T < 3,5 ) = 2,5 3,5 f ( t ) d t

c

P ( T = 4,75 ) = 4,75 4,75 f ( t ) d t = 0

d

P ( 4,745 < T < 4,755 ) = 4,745 4,755 f ( t ) d t

Opgave 4
a

Vergelijk de tabel van f met de gegeven transactietijden.

b

Gebruik de integraalbenadering van je grafische rekenmachine.

c

Gebruik de integraalbenadering van je grafische rekenmachine.

d

P ( T > 10 ) 10 15 f ( t ) d t 0,0357

e

P ( 2 < T < 3 ) 2 3 f ( t ) d t 0,1779

f

Nu zijn ondergrens en bovengrens allebei 4 en dus is de integraal gelijk aan 0. Precies 4 minuten kan ook in de praktijk niet worden gemeten als transactietijd.

g

Het verschil is de kans op precies 4,75 minuten en die kans is 0.

Opgave 5
a

f ( - x ) = f ( x )

b

f ' ( x ) = 0 geeft x = 0 en de top wordt ( 0 ; 0,3989 ) .

c

f " ( x ) = 0 geeft x = ± 1 , dus de buigpunten zijn ( ± 1 ; 0,2420 ) .

d

Doen: - 4 4 f ( t ) d t 0,99993666 1 .

e

- 2 2 f ( t ) d t 0,9545

f

1,6 4 f ( t ) d t 0,0548

Opgave 6
a

Maak de grafiek met de GR. Neem X van 160 tot 200 en Y van 0 tot 0,1.

b

Eerst vermenigvuldiging met 1 5 in de x -richting en dan verschuiving van 180 in de positieve x -richting en tenslotte vermenigvuldiging met 1 5 in de y -richting.

c

Doen: 160 200 f ( t ) d t 1 .

d

Top ( 180 ; 0,080 ) en buigpunten ( 175 ; 0,048 ) en ( 185 ; 0,048 ) .

e

170 190 f ( t ) d t 0,9545 , dus hetzelfde als bij e van de vorige opgave. Dat is geen toeval natuurlijk...

f

178 186 f ( t ) d t 0,5404

g

200 250 f ( t ) d t 0,0000317 0

Opgave 7
a

0 10 x a d x = 1 geeft 1 a 1 2 10 2 = 1 en dus a = 50 . (Kan ook met oppervlakteformule driehoek.)

b

P ( 0 < X < 3 ) = 0 3 1 50 x d x = 1 50 1 2 3 2 = 0,09

c

P ( 2 < X < 8 ) = 2 8 1 50 x d x = 1 50 1 2 8 2 - 1 50 1 2 2 2 = 0,6

d

P ( 5 < X < 10 ) = 5 10 1 50 x d x = 1 50 1 2 10 2 - 1 50 1 2 5 2 = 0,75

e

P ( X = 3 ) = 0

Opgave 8
a

0 30 f ( t ) d t 1 en alle functiewaarden zijn positief.

b

P ( 0 < T < 10 ) = 0 10 f ( t ) d t 0,62

c

P ( T > 10 ) = 1 - 0 10 f ( t ) d t 1 - 0,62 = 0,38

d

P ( 5 < T < 10 ) = 5 10 f ( t ) d t 0,35

e

0, precies 5 minuten is onmeetbaar.

Opgave 9
a

Gebruik je grafische rekenmachine of Excel. Reken eerst de aantallen om naar relatieve frequenties.

gewicht (kg) 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2
aantal 0,006 0,016 0,044 0,082 0,146 0,170 0,186 0,166 0,106 0,056 0,018 0,004

Nu moet bij een histogram de oppervlakte van elke staaf de relatieve frequentie zijn. In dit geval (omdat alle staven maar breed zijn) moeten de hoogtes allemaal keer zo groot worden genomen. Zie bij d voor de figuur.

b

GR: μ ( G ) 3,66 en σ ( G ) 0,20

c

Maak de grafiek van f ( x ) = 1 0,20 2 π e - 1 2 ( ( x - 3,66 ) 0,20 ) 2 .
Neem X van 3,05 tot 4,25, dus passend bij je histogram.

d

Je vindt 426 500 = 0,852 , dus ongeveer 85%.

e

P ( 3 , 45 < X < 4 , 25 ) = 3,45 4,25 f ( x ) d x 0,8515

Opgave 10
a

Ga na, dat 110 160 f ( x ) d x 1 .

b

130 f ( x ) d x = 0,5

c

150 f ( x ) d x 150 200 f ( x ) d x 0,0143 , dus ongeveer 1,4%.

Opgave 11
a

Teken de grafiek met je GR. Je ziet dat P ( X x ) langzaam nadert naar 1 als x .

b

Omdat P ( X x ) = 0 x f ( x ) d x = 1 - e - x is f ( x ) = e - x (de afgeleide van de gegeven kansverdelingsfunctie).

c

P ( X < 1 ) = 1 - e - 1 0,63

d

P ( 0 < X < 3 ) = P ( X < 3 ) - P ( X < 0 ) = 1 - e - 3 0,95

e

P ( X > 3 ) = 1 - P ( X < 3 ) = e - 3 0,05 .

Opgave 12
a

en .
De oppervlakte onder de grafiek van op het interval is: .
Dus .

b

De oppervlakte onder de grafiek van op het interval moet zijn.

Dus .

Conclusie: .

Opgave 13Intelligentiequotiënt
Intelligentiequotiënt
a

, dus ongeveer %.

b

, dus ongeveer %

c

Gebruik je GR (het gaat wel langzaam, maak het domein kleiner!).

Een IQ dat lager is dan .

Opgave 14
a

a = 0,125 .

b

0,5

Opgave 15
a

67,6%

b

2,2%

verder | terug