Continue kansmodellen > Normaalkromme
123456Normaalkromme

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Maak de grafiek van f op je GR en vergelijk die met de kromme in de figuur.

b

Benader de bijbehorende integraal met je GR.

c

Benader de bijbehorende integraal met je GR.

Opgave 1
a

`3,4+11,6+23,8 = 38,8` % dus P ( 165 L < 180 ) = 0,388 .

b

P ( 165 L < 180 ) = 165 180 f ( x ) d x 0,380 .

c

De GR geeft P ( 165 L < 180 ) 0,380 .

Voer in: `text(normalcdf)(165,180,182,7)` .

d

P ( 166 < L < 177 ) 0,226 .

Voer in: `text(normalcdf)(166,177,182,7)` .

e

P ( L < 166 ) 0,011 .

Voer in: `text(normalcdf)(text(-)10^99,166,182,7)` .

f

P ( L > 192 ) 0,077 .

Voer in: `text(normalcdf)(192,10^99,182,7)` .

Opgave 2
a

`f'(x) = text(-)(x-182)/(343sqrt(2pi))*text(e)^(text(-)1/2((x-182)/7)^2) = 0` geeft x = 182 .
`f''(x)= (text(-)49+(x-182^2))/(343sqrt(2pi))*text(e)^(text(-)1/2((x-182)/7)^2) =0` geeft `(x-182)^2=49` en dus x = 175 x = 189 .

b

P ( 175 < L < 189 ) 0,683

c

P ( 168 < L < 196 ) 0,954 , dus ongeveer 95%.

d

P ( 161 < L < 203 ) 0,997 , dus ongeveer 99,7%.

Opgave 3
a

De kans dat een willekeurige soldaat uit de onderzochte groep een lengte heeft tussen 162 en 178 cm.

b

P ( 171 < L < 178 ) 0,226 , dus ongeveer 22,6%.

c

P ( 171 L 171 ) = 0 ?

d

P ( 170,5 L < 171,5 ) 0,017 , dus ongeveer 1,7%.

e

Eigenlijk hoort daar het antwoord te zijn: P ( 171,5 L < 177,5 ) 0,193 , dus ongeveer 19,3%.

f

P ( L < 158 ) 0,0003034 , dus ongeveer 0,03%.

g

P ( 178,5 L < 185,5 ) 0,383 , dus ongeveer 38,3%.

Opgave 4
a

P ( G < 140 | μ = 150 en σ = 17 ) 0,278 .

b

P ( 140 < L < 160 ) 0,444 , dus ongeveer 44%.

c

P ( G < 120 ) 0,039 , dus 0,039 340 13 appels.

Opgave 5
a

`text(P)(S gt 6 | mu(S)=5,2 text( en ) sigma(S)=0,8) ~~ 0,1587` .

15,87% (ofwel 16%).

b

`text(P)(5 lt S lt 6 | mu(S)=5,2 text( en ) sigma(S)=0,8) ~~ 0,4401` .

44,01% (ofwel 44%).

c

`text(P)(S ge 6,5 | mu(S)=5,2 text( en ) sigma(S)=0,8) ~~ 0,0521` .

Opgave 6
a

Eigen antwoord.

b

P ( L g ) = 0,20 geeft g 176,1 cm.

c

P ( L 182 + a ) = 0,60 geeft a 1,8 cm.

Opgave 7
a

P ( L g ) = 1 3 geeft g 179,0 cm. Dus S is voor de soldaten die maximaal 179  cm lang zijn.

b

P ( L g ) = 2 3 geeft g 185,0 cm. Dus M is voor de soldaten die langer dan 179  cm en maximaal 185 cm zijn.

Opgave 8
a

`21` van de `30` pakken zijn afgerond lichter dan `1000` gram. Dat is `70` % van de pakken.

b

Als je een vloeiende lijn door het midden van de bovenkant van alle staafjes zou tekenen (behalve die van `996` en `999` ), wordt het histogram bij benadering een klokvorm.

c

Gebruik de grafische rekenmachine of Excel. Voer de lijst met de dertig gewichten in en laat de statistische berekeningen uitvoeren. Dit geeft: `bar x ~~ 998,9` en `σ ~~ 2,5` gram.
Je kunt dit ook op basis van de klassenindeling laten berekenen: afgerond op één decimaal komen er dezelfde waarden uit.

d

`text(P)(x lt 1000 | mu(X)=998,9 text( en ) sigma(X)=2,5) ~~ 0,6700` , dus ongeveer `67` %.

Opgave 9
a

`text(P)(C lt 5,5 | mu(C)=6,4 ^^ sigma(C)=1,1) = 0,35806...`

20000 0,35806 ... 7161

b

`text(P)(C ge 7,0 | mu(C)=6,4 ^^ sigma(C)=1,1) = 0,2927...`

20000 0,2927 ... 5854

c

`text(P)(C le 4,0 | mu(C)=6,4 ^^ sigma(C)=1,1) = 0,1456...`

20000 0,1456 ... 219

Opgave 10
a

`text(P)(V ge 1 | mu(V)=1,02 text( en ) sigma(V)=0,015) ~~ 0,0912`

Dus ongeveer 9,12%.

b

`text(P)(V ge 1 | mu(V)=1,02 text( en ) sigma(V)=0,015) ~~ 0,2525`

Dus ongeveer 25,25%.

c

`text(P)(V le 0,98 | mu(V)=1,02 text( en ) sigma(V)=0,015) ~~ 0,0038`

d

`text(P)(0,995 lt V lt 1,005 | mu(V)=1,02 text( en ) sigma(V)=0,015) ~~ 0,1109`

Dus ongeveer 11,09%.

e

`text(P)(V le g | mu(V)=1,02 text( en ) sigma(V)=0,015) = 0,05` oplossen.

Met InvNorm geeft je GR: 0,9953 liter.

f

`text(P)(V ge g | mu(V)=1,02 text( en ) sigma(V)=0,015) = 0,10` oplossen.

Met InvNorm geeft je GR: 1,0392 liter.

Opgave 11
a

`text(P)(L ge 170 | mu(L)=162 text( en ) sigma(L)=6,5) ~~ 0,109`

Dus ongeveer 10,9%.

b

`text(P)(160 le L le 170 | mu(L)=162 text( en ) sigma(L)=6,5) ~~ 0,512`

Dus ongeveer 51,2%.

c

`text(P)(159,5 le L le 160,5 | mu(L)=162 text( en ) sigma(L)=6,5) ~~ 0,058`

Dus ongeveer 5,8%.

d

`text(P)(L le g | mu(L)=162 text( en ) sigma(L)=6,5) = 0,10` oplossen met de GR.

Maximaal 153,7 cm, dus maximaal 153 cm.

e

`text(P)(L ge g | mu(L)=162 text( en ) sigma(L)=6,5) = 0,10` oplossen met de GR.

Minimaal 170,3 , dus minimaal 171 cm.

Opgave 12
a

μ = 43,6 cm en σ = 2,7 cm.

b

Doen.

c

P ( K < a ) = 0,05 geeft a 39,2 cm.

d

P ( K < g ) = 0,80 geeft g 45,9 cm. Dus een kniehoogte van 45,9 cm of meer.

Opgave 13Leeftijdsgroepen vergelijken
Leeftijdsgroepen vergelijken
a

Gemiddeld heeft een 16-jarige een score van `56` .

`text(P)(S_(12) gt 56 | mu=48 text( en ) sigma=8) ~~ 0,16` , dus die kans is ongeveer `0,16` .

b

De stochast `X` , het aantal 12-jarigen in de groep van `25` dat beter scoorde dan gemiddeld een 16-jarige, is een binomiale stochast met `n=25` en `p=0,16` (zie a).

Gevraagde kans: `text(P)(X le 1 | n = 25 text( en ) p = 0,16) ~~ 0,0737` en dat is ongeveer `7` %.

c

Voer in `y_1 = text(normalpdf)(x,48,8)` en `y_1 = text(normalpdf)(x,48,8)` met venster `[20, 90]xx[0; 0,1]` .

De normaalkrommen reiken niet even hoog, want de oppervlakte eronder moet steeds `1` zijn en dat betekent dat de kromme met de grootste standaardafwijking automatisch breder en dus minder hoog wordt.

Opgave 14Levensduur van lampen
Levensduur van lampen
a

Voor een normale verdeling geldt dat het gemiddelde precies in het midden (bij de top) ligt en dus ook meteen de mediaan is: daarom brandt `50` % van de A-lampen minder dan `600` uur.

b

`620` is het gemiddelde plus eenmaal de standaardafwijking: het gebied links ervan komt volgens de eigenschappen van de normale verdeling grofweg overeen met `50 + 1/2 * 68 = 84` %.

c

`μ_B=1150` en `σ_B=50` (uur).

Argumentatie:

Vuistregel 1 van de normale verdeling zegt dat `68` % van alle branduren tussen `μ_B-σ_B` en `μ_B+σ_B` ligt:

  • `μ_B` , het gemiddelde, ligt dus in het midden van het `68` %-gebied

  • `μ_B-σ_B` en `μ_B+σ_B` zijn dus de grenzen van het `68` %-gebied: hiermee is `σ_B` te berekenen

d

Omdat de verdeling breder is ( `σ_B = 50` en dus meer dan twee keer zo groot als `σ_A` ) en het gebied in beide gevallen `100` % voorstelt, moet de hoogte minder zijn.

Opgave 15
a

0,0912

b

0,9088

c

20,9 gram.

d

17,1 gram.

Opgave 16
a

Ongeveer 0,27%.

b

Ongeveer 4,3%.

c

144,5 of meer.

verder | terug