Continue kansmodellen > Normaalkromme
123456Normaalkromme

Uitleg

Bekijk de lengteverdeling van een groep soldaten op een bepaalde kazerne hierboven nog eens. De lengte L is een continue stochast. De kromme is een benadering van de grafiek van de bijpassende kansdichtheidsfunctie. De benadering wordt beter als je meer klassen maakt. De grafiek heeft een mooie klokvorm die wordt bepaald door gemiddelde µ ( L ) = 182 cm en standaardafwijking σ ( L ) = 7 cm.

Hierbij past de kansdichtheidsfunctie f ( x ) = 1 7 2 π e 1 2 ( x 182 7 ) 2 .
Een kansdichtheidsfunctie van deze vorm heet een normale kansdichtheidsfunctie, de grafiek ervan is een normaalkromme. Je zegt dat L normaal verdeeld is. De bijbehorende kansen kun je berekenen door integreren, maar ook meteen met de GR. Enkele vuistregels ken je al uit Statistiek, Uitspraken doen.

Bekijk het Practicum .

Opgave 1

Bestudeer de Uitleg .
Bekijk het histogram van de lengteverdeling van de soldaten.

a

Hoeveel bedraagt P ( 165 L < 180 ) volgens het histogram? Geef je antwoord als getal tussen 0 en 1.

b

Bepaal P ( 165 L < 180 ) met behulp van een integraal.

Deze kans kun je ook bepalen door uit te gaan van de normaalkromme als model voor de lengteverdeling van de soldaten. Je grafische rekenmachine kent de normale verdeling. Je schrijft de gevraagde kans vaak als P ( 165 L < 180 | μ ( L ) = 182 σ ( L ) = 7 ) . De vier getallen in deze uitdrukking moet je in de grafische rekenmachine in de juiste volgorde in de normaalverdeling invoeren. Bekijk het Practicum .

c

Bepaal P ( 165 L < 180 | μ ( L ) = 182 σ ( L ) = 7 ) .

d

Bereken de kans dat een soldaat tussen 166 en 177 cm lang is.

e

Bereken hoeveel procent van de soldaten kleiner dan 166 cm is.

f

Bereken hoeveel procent van de soldaten langer dan 192 cm is.

Opgave 2

Kijk weer naar de lengteverdeling van de soldaten en de bijpassende kansdichtheidsfunctie.

a

Laat met behulp van differentiëren zien, dat de top van de normaalkromme bij μ = 182 zit en dat de x -waarden van de buigpunten μ - σ en μ + σ zijn.

b

Laat zien dat ongeveer 68% van de soldaten een lengte heeft tussen μ - σ en μ + σ .

c

Hoeveel procent van de soldaten heeft volgens de normaalkromme een lengte die minder dan twee standaarddeviaties van het gemiddelde afwijkt?

d

Hoeveel procent van de soldaten heeft volgens de normaalkromme een lengte die minder dan drie standaarddeviaties van het gemiddelde afwijkt?

verder | terug