Continue kansmodellen > Standaardiseren
123456Standaardiseren

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Dat kan op verschillende manieren: je kunt het gemiddelde vulgewicht wat groter maken, maar je kunt ook de vulmachine nauwkeuriger afstellen (dus de standaardafwijking verkleinen).
Probeer geschikte waarden te vinden.

b

Denk er aan, dat je nu de wortel-n-wet nodig hebt. Zie Uitleg 2.

Opgave 1
a

`mu = 1005`

b

De fabrikant moet dan gemiddeld meer suiker in een pak stoppen.

c

`sigma = 1,2`

d

Voordeel voor de fabrikant is dat het ongeveer evenveel suiker kost, nadeel kan zijn dat hij een nieuwe machine moet aanschaffen die nauwkeuriger is.

Opgave 2
a

Zie figuur.

b

Nee, want de verdelingen zijn verschillend en je kunt daarom slecht beoordelen of de `7,0` op het SE naar verhouding meer of minder van het gemiddelde van `6,5` afwijkt dan de `6,0` voor het CE afwijkt van de `5,5` .

c

Zie figuur.

d

Nog steeds niet goed, want de standaardafwijkingen zijn verschillend.

e

Zie figuur. Nu beide verdelingen gelijk zijn gemaakt kun je zien dat de prestatie voor het schoolexamen naar verhouding beter was.

Opgave 3

`text(P)(T > 3010 | mu=3006 text( en ) sigma=5,3) ~~ 0,225`

Voer in: `text(normalcdf)(3010,10^99,3006,5.3)` .

Opgave 4
a

Doen.

b

`text(P)(G < 1000 | mu = m text( en ) sigma = 3) = 0,025` , geeft `(1000 - mu)/3 ~~ text(-)1,96` en dus `mu ~~ 1005,9` .

c

Nee, er blijft altijd een (heel kleine) kans dat er pakken te licht zijn.

Opgave 5
a

`text(P)(L < 75 | mu = 80 text( en ) sigma = 4,25) ~~ 0,120` dus `12,0` %.

b

`text(P)(L < 90 | mu = m text( en ) sigma = 4,25) = 0,01` geeft `(90 - m)/(4,25) ~~ text(-)2,33` en dus `mu ~~ 99,9` uur.

Opgave 6
a

Doen.

b

`text(P)(G < 1000 | mu = 1002 text( en ) sigma = s) = 0,025` , geeft `(1000 - 1002)/s ~~ text(-)1,96` en dus `sigma ~~ 1,02` .

Opgave 7

`text(P)(C < 7,0 | mu = 5,0 text( en ) sigma = s) = 0,90` , geeft `(7,0 - 5,0)/s ~~ 1,28` en dus `sigma ~~ 1,56` .

Opgave 8
a

`mu = 10 * 1002 = 10020"` gram en `sigma = sqrt(10) * 3 ~~ 9,5` gram.

b

`text(P)(T > 10000 | mu = 10020 text( en ) sigma = 9,5) ~~ 0,9824` .

c

`mu = 1002` gram en `sigma = 3/(sqrt(10)) ~~ 0,95` gram.

d

`text(P)(G > 1000 | mu = 1002 text( en ) sigma = 0,95) ~~ 0,9824` .

Opgave 9
a

Je neemt een steekproef van 100 zakjes. X is het gemiddelde gewicht van één zakje in de steekproef: μ ( X ) = 155 g en σ ( X ) = 6 100 = 0,6 g.
Bepaal x 1 en x 2 zo, dat: P ( X < x 1 ) = 0,025 en P ( X > x 1 ) = 0,025 is. Je vindt x 1 153,82 en x 2 156,17 . Het gewicht van 95% van de zakjes ligt tussen 153,8 en 156,2 g.

b

Je neemt een steekproef van n zakjes. X is het gemiddelde gewicht van één zakje in de steekproef: μ ( X ) = 155 g en σ ( X ) = 6 n g.
Bepaal n zo, dat: `text(P)(X < 154 | mu = 155 text( en ) sigma = 6/(sqrt(n))) < 0,05` . Door standaardiseren vind je 154 - 155 σ < -1,645 en dus σ = 6 n > 0,608 zodat n < 97,4 .
Omdat n een geheel getal moet zijn vind je n 97 .

Opgave 10
a

`text(P)(G lt 1000 | mu=x text( en ) sigma=4) le 0,05` geeft `z=(1000-x)/4~~text(-)1,64` en `x~~1006,6` .

`mu ~~ 1006,6` gram.

b

`text(P)(G lt 1000 | mu=x text( en ) sigma=4) le 0,02` geeft `z=(1000-x)/4~~text(-)2,054` en `x~~1008,215` .

`mu = 1008,215` gram ofwel `1008,2` gram.

c

`text(P)(G lt 1000 | mu=1003 text( en ) sigma=x) le 0,02` geeft `z=(1000-1003)/x~~text(-)2,054` en `x~~1,4607` .

`sigma = 1,4607` gram ofwel `1,5` gram.

Opgave 11
a

`text(P)(T gt 60 | mu=55 text( en ) sigma=4) ~~ 0,1056`

Dus `0,1056 * 1200 ~~ 127` auto’s.

b

`text(P)(T lt x | mu=55 text( en ) sigma=4) = 0,05` geeft `x~~48,4206` .

Dus ongeveer `48,4` seconden.

c

`text(P)(T gt 60 | mu=55 text( en ) sigma=x) le 0,1` geeft `text(P)(T lt 60 | mu=55 text( en ) sigma=x) ge 0,99` , dus `z=(60-55)/x~~2,326` en `x~~2,1493` .

Dus ongeveer `2,1` seconden.

Opgave 12
a

`text(P)(9,98 le D le 10,03 | mu=9,99 ^^ sigma=0,02) ~~ 0,6687`

`66,87` % (ofwel `67` %).

b

`text(P)(9,98 le D le 10,03 | mu=9,99 text( en ) sigma=0,01) ~~ 0,8413`

`84,13` % (ofwel `84` %).

c

Meerdere mogelijkheden, bijvoorbeeld `mu = 10,01` en `sigma = 0,008` ; dan wordt `99,37` % goedgekeurd.

Opgave 13
a

`text(P)(l < 60 | mu = m text( en ) sigma = s) = 0,875` geeft `(60 - m)/s ~~ 1,15` .
`text(P)(l < 30 | mu = m text( en ) sigma = s) = 0,39` geeft `(30 - m)/s ~~ text(-)0,28` .
Dus: `60 - m = 1,15s` en `30 - m = text(-)0,28s` . Hieruit vind je `m ~~ 39,5` en `s ~~ 21,0` . Dus `mu ~~ 39,5` en `sigma ~~ 21,0` .

b

`text(P)(l < g | mu = 35,9 text( en ) sigma = 21,0) = 0,30` geeft `g ~~ 24,9` . Dus tot een lengte van ongeveer `25` cm moeten de planten worden vernietigd.

Opgave 14
a

`text(P)(G lt 900 | mu=1000 text( en ) sigma=x) = 0,05` geeft `z=(900-1000)/x~~text(-)1,645` en `x~~60,8` .

Dus `sigma ~~ 60,8` gram.

b

`text(P)(G lt 900 | mu=1000 text( en ) sigma=60) = 0,048`

Dus ongeveer `4,8` %.

c

`text(P)(G lt 900 | mu=x text( en ) sigma=65) = 0,05` geeft `z=(900-x)/65~~text(-)1,645` en `x~~1006,9` .

Dus ongeveer `1006,9` gram (ofwel `1007` gram).

d

`text(P)(T < 2950 | mu = 3000 text( en ) sigma = sqrt(3) * 50) ~~ 0,2819`

e

`text(P)(G < 950 | mu = 1000 text( en ) sigma = 50/(sqrt(3))) ~~ 0,0416`

Opgave 15
a

`text(P)(G < 200 | mu = 202,5 text( en ) sigma = 4,0) ~~ 0,2660` .

b

`text(P)(T < 10000 | mu = 10125 text( en ) sigma = sqrt(50) * 4,0) ~~ 0,00000493` .

c

`text(P)(bar(G) > 203 | mu = 202,5 text( en ) sigma = (4,0)/(sqrt(n))) < 0,10` geeft `text(P)(Z < (203 - 202,5)/(sigma)) > 0,90` .
Dus `(0,5)/(sigma) ge 1,282` > en `sigma = (4,0)/(sqrt(n)) le 0,390` zodat `n ge 105` .

Opgave 16Zwangerschap
Zwangerschap
a

Normale stochast `Z` is de zwangerschapsduur.

Bij ongeveer `199205 * P( Z < 252 | µ = 280 text( en ) σ = 12, 2) ~~ 2164` bevallingen.

b

`280 - 14 = 266` dagen en `280 + 14 = 294` : tussen deze twee grenzen ligt `75` % van de zwangerschapsduren.

`text(P)(266 le Z le 294 | µ = 280 text( en ) σ = x) = 0,75` oplossen (standaardiseren of InvNorm).

Je vindt: `σ ~~ 12,17` dagen.

c

Als normale stochast `Z` de zwangerschapsduur in het algemeen is, dan heb je te maken met `bar Z` , de gemiddelde zwangerschapsduur van de `18` vrouwen die door de verloskundige begeleidt zijn. Dus je moet de wortel-n-wet gebruiken.

`μ(bar Z) = μ(Z) = 280` dagen;

`σ(bar Z) = σ(Z)/sqrt(18) = 12,2 / sqrt(18)`

Gevraagde kans: `text(P)(bar Z > 285 | μ(bar Z) = 280 text( en ) σ(bar Z) = 12,2 / sqrt(18) ) ~~ 0,041` .

d

Ook hier is stochast `bar Z` de gemiddelde zwangerschapsduur, ditmaal in `1` maand in `1` kraamafdeling en ook hier is de wortel-n-wet nodig:

  • `text(P)(bar Z le 278) = 0,17` voor zekere `n`

  • `μ(bar Z) = 280`

  • `σ(bar Z) = (12,2) / (sqrt(n))`

Los op met de grafische rekenmachine:

`text(P)(bar Z le 278 | μ(bar Z) = 280 text( en ) σ(bar Z) = 12,2 / sqrt(n) ) = 0,17`

Je vindt: `n ~~ 15` bevallingen.

(naar: examen VWO wiskunde A 1,2 uit 2005, 2e tijdvak)

Opgave 17

`mu ~~ 1007`

Opgave 18

`sigma ~~ 6,91`

Opgave 19
a

Ongeveer `4,78` % (ofwel `5` %).

b

Buiten het gebied van `29,76` t/m `32,24` zit `3,88` % (ofwel `4` %).

c

Onder de `30` gram zit `4,78` % (ofwel `5` %).

d

Ongeveer `31,3958` gram, ofwel `31,4` gram.

e

`~~ 0,0478`

f

Buiten het gebied van `29,76` t/m `32,24` zit nu een zodanig klein percentage (n.l. `5,09 * 10^(text(-)23)` %) dat dit bij goede benadering `0` % is.

verder | terug