Hypothesen en verbanden

Hypothesen en verbanden > Hypothese toetsen

1234567Hypothese toetsen

Voorbeeld 1

Op een consulatiebureau blijken de laatste tijd veel meisjes te zijn geboren: $48$ van de $80$ laatst geboren kinderen zijn meisjes. Dat is $60$ % van het totaal.
Toets met behulp van een steekproef van $100$ of de kans op de geboorte van een meisje inderdaad groter is dan op die van een jongen.

> antwoord

Je vergelijkt $H_{0}$ : $p = 0,5$ met $H_{1}$ : $p = 0,6$ .
Vanaf welk aantal meisjes in de steekproef van $100$ verwerp je $H_{0}$ ?
Er bestaat altijd een kans dat je $H_{0}$ ten onrechte verwerpt of ten onrechte accepteert.

Laat $X$ het aantal meisjes in de steekproef zijn. $X$ is binomiaal verdeeld met $n = 100$ en $p = 0,5$ (als $H_{0}$ geldt) of $p = 0,6$ (als $H_{1}$ geldt).
Als je $H_{0}$ verwerpt bij meer dan $g$ meisjes, dan is de kans dat je dit ten onrechte doet: `text(P)(X > g | n = 100 text( en ) p = 0,5)` .
Als je $H_{0}$ accepteert bij $g$ meisjes of minder, dan is de kans dat je dit ten onrechte doet: `text(P)(X le g | n = 100 text( en ) p = 0,6)` .
Je ziet hier een lijst van dergelijke kansen.

Bij $g = 55$ zijn beide kansen samen het kleinst.
Je zou als kritieke gebied kunnen kiezen: $g > 55$ .

Opgave 4

Als het goed is heb je in Opgave 3 het probleem dat in Voorbeeld 1 wordt besproken al zelf uitgevoerd.

Leg nog eens uit waarom de kans dat je ten onrechte $H_{0}$ verwerpt gelijk is aan `text(P)(X > g | n = 100 text( en ) p = 0,5)` . Is dit een fout van de eerste of van de tweede soort?

Leg nog eens uit waarom de kans dat je ten onrechte $H_{0}$ accepteert gelijk is aan `text(P)(X < = g | n = 100 text( en ) p = 0,6)` . Is dit een fout van de eerste of van de tweede soort?

Wat is nu je conclusie als je in de steekproef $55$ meisjes en dus $45$ jongetjes aantreft?

Opgave 5

Je kunt in Voorbeeld 1 ook $H_{0} : p = 0,5$ vergelijken met $H_{1} : p > 0,5$ .

Waarom kun je nu niet zo maar vaststellen bij welk aantal meisjes in de steekproef van $100$ je $H_{0}$ verwerpt?

Stel je verwerpt $H_{0}$ als het aantal meisjes groter is dan $55$ . Hoe groot is dan de kans dat je dit ten onrechte doet?

Maak een tabel van dergelijke kansen voor $g = 55$ tot en met $g = 65$ .

Vanaf welke waarde van $g$ is de bedoelde kans kleiner dan $5$ %? Wat is dan het kritieke gebied van de toets?

Vanaf welke waarde van $g$ is de bedoelde kans kleiner dan $1$ %? Wat is dan het kritieke gebied van de toets?

verder | terug