Hypothesen en verbanden > Normale toets
1234567Normale toets

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Gebruik de applet of je GR. Die kans is ongeveer 0,091.

b

De kans is ongeveer 9,1% dat de consumentenbond een fout maakt. Het is verstandig om een grotere steekproef te nemen en daarvan het gemiddelde gewicht te bepalen. De wortel-n-wet zorgt er dan voor dat de standaardafwijking van het gemiddelde in zo'n steekproef kleiner wordt naarmate n groter wordt.

Opgave 1
a

Er is sprake van een normale kansverdeling en er wordt alleen gekeken naar de situatie dat het gemiddelde in een steekproef lager is dan de opgegeven (of eerder gemeten) waarde voor de populatie.

b

De consumentenbond is voornamelijk geïnteresseerd in het belang van consumenten en wil daarom niet dat een verpakking te weinig bevat. De fabrikant daarentegen wil ook niet teveel suiker in een pak stoppen, want dat kost hem geld. Dus de fabrikant zal waarschijnlijk tweezijdig toetsen.

c

In dit geval mag de nulhypothese niet worden verworpen omdat 0,091 > 0,05 , het afgesproken significantieniveau.

d

`text(P)(G le g | mu = 1002 text( en ) sigma = 3) le 0,05` geeft g 997,065 .
Het kritieke gebied is dan 997 gram of minder.

Opgave 2
a

`text(P)(G lt 997 | mu=1002 text( en ) sigma=3)~~0,048`

b

Er wordt maar één pak gewogen en aan de hand daarvan worden conclusies getrokken.

Opgave 3
a

Je kijkt dan naar het gemiddelde gewicht G ¯ in de steekproef en je test H 0 : μ ( G ¯ ) = 1002 tegen H 1 : μ ( G ¯ ) < 1002 .
Voor de standaardafwijking van de verdeling geldt nu de n -wet, dus σ ( G ¯ ) = 3 100 = 0,3 .

b

`text(P)(bar(G) le 999 | mu(bar(G)) = 1002 text( en ) sigma(bar(G)) = 0,3) ~~ 0 < 0,01` .
Inderdaad is er nu reden om H 0 te verwerpen.

Opgave 4
a

`mu(bar(G))=mu(G)=1002` en `sigma(bar(G))=3/sqrt(8)`

b

`text(P)(bar(text(G)) < 1000 | mu(bar(G)) = 1002 text( en ) sigma(bar(G)) = 3/sqrt(10)) ~~ 0,0297 > 0,01`
`text(H)_0` wordt nu niet verworpen.

Opgave 5
a

Doen.

b

`text(P)(bar(G) le g | mu = 1002 text( en ) sigma ~~ 0,95) le 0,005` geeft g 999,55 .
Er is nog steeds een significante afwijking.

c

`text(P)(bar(G) le g | mu = 1002 text( en ) sigma ~~ 0,42) le 0,01` geeft g 1001,02 .
De consumentenbond krijgt gelijk als er gemiddeld minder dan 1001 gram wordt gevonden.

Opgave 6
a

Er wordt naar een afwijking van het gemiddelde zowel naar boven als naar beneden gezocht. De onbetrouwbaarheidsdrempel wordt verdeeld over beide ongelijkheden. Als er geen duidelijke reden is om dat anders te doen wordt α gewoon in twee gelijke delen verdeeld.

b

`text(P)(bar(G) le g_1 | mu = 1002 text( en ) sigma ~~ 0,95) le 0,025` geeft g 1 1000,13 .
`text(P)(bar(G) ge g_2 | mu = 1002 text( en ) sigma ~~ 0,95) le 0,025` geeft g 2 1003,86 .
Het kritieke gebied wordt G ¯ 1000,1 of G ¯ 1003,9 .

Opgave 7
a

H 0 : μ = 0,200 en H 1 : μ > 0,200 met σ = 0,041 80 0,0046 .

b

`text(P)(bar(K) > 0,213 | mu = 0,200 text( en ) sigma ~~ 0,0046) ~~ 0,0024 < 0,01` , dus H 0 wordt verworpen.

Opgave 8

Je toetst H 0 : μ = 175 tegen H 1 : μ 175 met α = 0,01 .
In de steekproef is C ¯ = 177,375 en σ 8,901 . Deze σ gebruik je als schatting voor de standaardafwijking van de populatie.
`text(P)(bar(C) le g_1 | mu = 175 text( en ) sigma ~~ (8,901)/(sqrt(8))) le 0,005` geeft g 1 166,89 .
`text(P)(bar(C) ge g_2 | mu = 175 text( en ) sigma ~~ (8,901)/(sqrt(8))) le 0,005` geeft g 2 183,11 .
De gevonden 177,375 ligt niet in het kritieke gebied en dus is de afwijking niet statistisch significant.

Opgave 9
a

Een maaltijdmix moet een precieze hoeveelheid bevatten: "goed verpakt" betekent hier, niet te veel en niet te weinig. Dus de toets is tweezijdig.

b

`text(P)(bar(G) le g_1 | mu = 50 text( en ) sigma=2/sqrt(100)) le 0,005`
Voer in: `text(invNorm)(0,005; 50; 0,2)`
Je krijgt `g_1 ~~ 49,48` .

`text(P)(bar(G) ge g_2 | mu = 50 text( en ) sigma=2/sqrt(100)) le 0,005`
Voer in: `text(invNorm)(0,995; 50; 0,2)`
Je krijgt `g_2 ~~ 50,52` .

Het kritieke gebied is `bar(G) le 49,48` en `bar(G) ge 50,52` .

Opgave 10

Je toetst H 0 : μ = 3600 tegen H 1 : μ < 3600 met α = 0,03 . (Je zou ook een dubbelzijdige toets kunnen doen, maar op grond van het steekproefresultaat ligt een enkelzijdig toets meer voor de hand.)
In de steekproef is L ¯ = 3300 en σ = 600 60 .
`text(P)(bar(L) le g | mu = 3600 text( en ) sigma = 600/(sqrt(60))) le 0,03` geeft g 3454 .
De gevonden 3300 ligt in het kritieke gebied en dus kun je met een betrouwbaarheid van 97% de bewering van de firma verwerpen.

Opgave 11
a

`text(P)(bar(G) < 53,3 | mu = 54,2 text( en ) sigma = (4,7)/(sqrt(200))) ~~ 0,0034 < 0,02` , dus H 0 wordt verworpen, het tijdschrift heeft niet gelijk.

b

Bij een significantieniveau van ongeveer 0,34% of meer.

c

Bij een significantieniveau van ongeveer 27,24% of meer. De betrouwbaarheid wordt duidelijk kleiner als de steekproef kleiner wordt.

Opgave 12
a

Je toetst H 0 : μ = 0,022 tegen H 1 : μ > 0,022 .

b

Zie a, het wordt een enkelzijdige toets want kleinere hoeveelheden natriumnitriet zijn acceptabel, grotere niet.

c

Steekproef: N ¯ 0,022128 en σ N 0,000458 .
`text(P)(bar(N) > 0,022128 | mu = 0,022 text( en ) sigma = (0,000458)/(sqrt(25))) ~~ 0,0811 > 0,05` , dus H 0 wordt niet verworpen, er is geen reden voor bezorgdheid.

Opgave 13
a

Zet de cumulatieve relatieve frequenties uit tegen de bovengrenzen. Ze zorgen voor een redelijk rechte lijn.

b

σ 0,02 en V ¯ = 3,4915 .

c

`text(P)(bar(V) < 3,4915 | mu = 3,50 text( en ) sigma = (0,02)/(sqrt(20))) ~~ 0,0287 < 0,05` , dus H 0 wordt verworpen, de consumentenorganisatie kan de bewering van de fabrikant verwerpen.

Opgave 14Vulmachine instellen
Vulmachine instellen
a

Er moet gelden: `text(P)(I < 100|mu=100,5 text( en ) sigma=1/sqrt(n)) < 0,01` .

Voer in: `y_1=text(normalcdf)(0;100;100,5; 1/x)` en `y_2=0,01`
Snijpunt of tabel geeft `n~~21,6` .
De steekproefomvang moet minstens `22` zijn.

b

Probeer met een tabel:

`100,5` liter `22` tests geeft `220` euro testkosten (zie vorige vraag).

`100,6` liter `16` tests geeft `160` euro kosten en `150` euro extra vloeistof, dus `310` euro totaal.

`100,4` liter `34` tests geeft `340` euro kosten en `150` euro minder vloeistof, dus `190` euro totaal.

`100,3` liter `61` tests geeft `610` euro kosten en `300` euro minder vloeistof, dus `310` euro totaal.

Bij ongeveer `100,4` liter zijn de kosten van vloeistof en testen samen minimaal.

Opgave 15Student's t-toets
Student's t-toets
a

Normale verdeling: `y_1=text(normalpdf)(x,0,1)`
Studentverdeling: `y_2=text(tpdf)(x, 1)` (dus een steekproef met omvang `2` )
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)5, 5]xx[0; 0,5]` .

b

Uit de figuur blijkt dat de Studentverdeling "breder" is. Bij gelijke significantie zal de grens van het kritieke gebied bij de Studentverdeling dus verder van het gemiddelde af liggen. Het gemiddelde van de steekproef moet bij de Studentverdeling dus verder van het gemiddelde van de nulhypothese af liggen om de nulhypothese te kunnen verwerpen, dan bij de normale verdeling.

c

Dat hangt natuurlijk af van wat je "op elkaar lijken" vindt. Maar vrij algemeen wordt `n ge 25` geaccepteerd als grens.

Opgave 16

`text(P)(bar(M) > 252 | mu = 250 text( en ) sigma = 2/3) ~~ 0,0013 < 0,025` , dus H 0 wordt verworpen.

Opgave 17

Steekproef: K ¯ = 16,025 en σ K 0,134 .
`text(P)(bar(K) < 16,025 | mu = 16,4 text( en ) sigma = (0,134)/(sqrt(25))) ~~ 0,0000 < 0,02` , dus H 0 wordt verworpen, het kobaltgehalte is te klein.

verder | terug