Hypothesen en verbanden > Normale toetsToepassen
Een fabrikant produceert een vloeistof in vaten van ruim `100` liter. Door middel van steekproeven voert de kwaliteitsdienst controles op de inhoud uit. Het nemen van steekproeven kost geld, dus worden er zo weinig mogelijk steekproeven genomen.
De vulmachine staat ingesteld op vullen met `100,5` liter per vat. De standaardafwijking van dit vulproces is `1` liter. De kwaliteitsdienst wil zo weinig mogelijk steekproeven nemen. Maar de dienst wil ook met een significantie van hoogstens `1` % weten of er gemiddeld minstens `100` liter in de vaten zit.
Hoeveel vaten moet de dienst testen?
Het aantal vaten dat moet worden getest bij een significantie van `1` % hangt af van de instelling van het vullen van het vat. Dit gaat met stapjes van `0,1` liter. Hoe hoger de instelling, hoe minder vaten er hoeven te worden getest, maar hoe meer het vullen kost. Het testen van een vat kost € 10,00. 1 liter vloeistof kost € 1,50. De kwaliteitsdienst controleert steeds een partij van `1000` vaten door daar een aantal van te testen.
Op welke instelling moet de fabrikant de vulmachine zetten, zodat de kosten voor steekproef nemen en vloeistof samen zo laag mogelijk zijn?
Bij normale toets van het gemiddelde kan de standaardafwijking van de steekproef worden
gebruikt. In de theorie van dit onderwerp wordt opgemerkt dat er dan rekening moet
worden gehouden met een grotere fout.
William Sealy Gosset (1876—1937) was een Engelse statisticus, die publiceerde onder
het pseudoniem
"Student"
. Deze wiskundige heeft onderzoek gedaan naar deze fout.
Hij ontdekte dat er in dat geval van een iets andere verdeling dan de normale verdeling
gebruikgemaakt kan worden. Deze verdeling wordt de Student- of t-verdeling genoemd.
Voor de Studentverdeling moet de steekproefomvang bekend zijn. Als deze
`n`
is, moet bij vrijheidsgraden
`n-1`
worden ingevuld.
Teken met behulp van bijvoorbeeld de grafische rekenmachine de normale verdeling en de Studentverdeling. Gebruik bij de normale verdeling `mu=0` en `sigma=1` . Bij de Studentverdeling is dit vaak automatisch het geval. De Studentverdeling is in de meestal beschikbaar als tPdf-functie. Neem een steekproefomvang `2` .
Leg aan de hand van deze grafieken uit dat het steekproefgemiddelde bij de Studentverdeling een grotere afwijking van het gemiddelde moet hebben om de nulhypothese te kunnen verwerpen, dan bij de normale verdeling.
Vanaf welke steekproefomvang is te zeggen dat de Studentverdeling en de normale verdeling op elkaar lijken?