Hypothesen en verbanden > Bijzondere toetsen
1234567Bijzondere toetsen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Je kunt natuurlijk gewoon beide verdelingen met elkaar vergelijken en hopen dat je iets kunt afleiden. Maar je kunt ook een zogenaamde "tekentoets" gebruiken, zie Uitleg 1.

b

De inspectie wil natuurlijk voorkomen dat leerlingen slagen ondanks slechte resultaten voor het CE, alleen omdat de SE-resultaten heel erg hoog zijn omdat een school te weinig eisen stelt.

Opgave 1
a

Omdat "meer" en "minder" door de tekens `+` en `-` worden weergegeven.

b

Als er geen wijziging merkbaar is, zal het aantal `+` gelijk zijn aan het aantal `-` .

Opgave 2
a

Er kan immers ook een aantal keer `0` uit gekomen zijn.

b

`X` is het aantal minnen in de steekproef ( `n=15` ). `X` is binomiaal verdeeld.

`text(P)(X ge 10 |n=15 text( en ) p=0,5)~~0,1509 > 0,1`

Nee, er mag nu niet uitgegaan worden van smaakvollere gerechten.

Opgave 3
a

Omdat gevraagd wordt naar het verschil van twee gemiddelden, niet of het gemiddelde juist is.
Verder is er sprake van twee steekproeven en twee standaardafwijkingen.

b

Het gaat om het verschil, dus het ene gemiddelde kan groter of kleiner zijn dan het andere. De toets is dus tweezijdig. De overschrijdingskans wordt vergeleken met `0,05` , dus `alpha=0,1` .

c

Neem de absolute waarde van het verschil of bereken de overschrijdingskans aan de andere kant.

Opgave 4
a

`chi^2 = ((115-100)^2)/(100) + ((85-100)^2)/(100) = 4,5`

c

Bekijk de formule van `chi^2` . Omdat een standaardafwijking altijd groter of gelijk aan `0` is, moet `chi^2` dat dus ook zijn. De kleinste waarde voor `chi^2` is dus `0` . Dat gebeurt alleen als `S(M)=0` . En dan moeten alle waarden in de steekproef gelijk zijn.

d

Gebruik je grafische rekenmachine om het antwoord te controleren.

Omdat de gevonden overschrijdingskans kleiner is dan `5` % concludeer je dat het geldstuk oneerlijk is met een betrouwbaarheid van `95` %.

Opgave 5
a

Leerling 5 heeft hetzelfde resultaat gehaald, dus daar is het teken `0` . Dit laat je buiten beschouwing.

b

Merk op dat nu `n=19` en dat er `12` minnen zijn.

`text(P)(X ge 12 | n=19 text( en ) p=0,5)~~0,1796 > 0,1`

De inspectie had die conclusie nu niet mogen trekken.

Opgave 6
a

`text(P)(V > g | mu_V = 0 text( en ) sigma_V = sqrt(1,3)) lt 0,05` geeft `g ~~ 1,88` .

Omdat `1,88>1,5` kun je nu niet concluderen dat de cijfers van A significant beter zijn dan die van groep B.

b

Omdat nu `mu_v=1,4` en `1,4 < 1,46` is de afwijking niet voldoende om te concluderen dat de cijfers van groep A significant beter zijn.

Opgave 7

`X` is het verschil van de gewichten. Dit is bij grote steekproeven normaal verdeeld.

`H_0: X=0`

`H_1: X!=0`

`sigma(X)=sqrt(2,5^2+3,6^2)~~4,38`

De overschrijdingskans is `text(P)(X > 6 | mu=0 text( en ) sigma=4,38)~~0,085` .

Omdat de significantie `10` % en de toets tweezijdig is, is dit niet voldoende om te mogen concluderen dat het verschil significant is.

Opgave 8
a

Hier zit geen theorie achter, het zijn meer ervaringsgegevens.

b

Ga na, dat je hetzelfde vindt als in het voorbeeld.

c

Omdat dat het aantal vrijheidsgraden is: in dit geval het aantal klassen min één. Bedenk dat, als de jaargegevens van twee klassen bekend zijn, de gegevens van de derde klasse vastliggen.

Opgave 9
a

`88`

b

`0,65*88=57,2` ; `0,25*88=22` ; `0,1*88=8,8`

c

`chi^2=((58-57,2)^2)/(57,2)+((20-22)^2)/22+((10-8,8)^2)/(8,8)~~0,357`

`text(P)(chi^2 ge 0,357)~~0,837 gt 0,10`

Dit is (veel) groter dan de significantie, dus er is geen aanleiding om aan te nemen dat er een verschuiving heeft plaatsgevonden in deze regio.

Opgave 10
a

De gegevens zijn direct aan elkaar verbonden: het aantal vrienden per persoon is meer, minder of hetzelfde. Daarom gebruik je de tekentoets.

b

De gegevens zijn niet direct aan elkaar verbonden: het gaat om verschillende klassen met verschillende leerlingen. Dus gebruik je de `chi^2` toets.

Opgave 11
a

`X` is het aantal maanden dat het ziekteverzuim op afdeling A hoger is dan op afdeling B.
Je toetst `text(H)_0: p = 0,5` tegen `text(H)_1: p > 0,5` met `n = 12` en `alpha = 0,05` .

b

In de steekproef van `12` maanden geldt `X = 9` .

`text(P)(X ge 9 | n = 12 text( en ) p = 0,5) ~~ 0,0730 > 0,05`

De nulhypothese mag niet worden verworpen. De afwijking is niet significant.

Opgave 12
a

Een bout en moer passen niet als de bout te dun is en ook niet als de bout te dik is.

b

`text(H)_0: mu_V = mu_M - mu_B = 0,02` en `text(H)_1: mu_V != 0,02` .

c

`sigma = (sqrt(0,05^2 + 0,03^2))/(sqrt(100)) ~~ 0,006` . De `sqrt(n)` -wet is nodig, omdat er `100` keer een bout en een moer worden gepast, en de gegeven standaardafwijkingen die van de populatie zijn en niet van de steekproef van `100` .

d

`text(P)(V lt g_1 | mu_V = 0,02 text( en ) sigma_V = 0,006) lt 0,025` geeft `g_1 ~~ 0,009` en `text(P)(mu_V > g_2 | mu_V = 0,02 text( en ) sigma_V = 0,006) lt 0,025` geeft `g_2 ~~ 0,031` .

De machines worden bijgesteld als in de steekproef het gemiddelde verschil kleiner is dan `0,009` of groter is dan `0,031`  mm.

Opgave 13

Neem aan dat de gemiddelden van de steekproeven normaal verdeeld zijn. Dat is gezien het kleine aantal leerlingen niet aannemelijk, maar voor deze verschiltoets is dit nodig.

Het SE-cijfer is gemiddeld 6,55 met `S_(SE)=0,85` .

HEt CE-cijfer is gemiddeld 6,44 met `S_(CE)=0,80` .

`V` is normaal verdeeld met een gemiddelde van `6,55-6,44=0,11` en een standaardafwijking van `sqrt(0,85^2+0,80^2)~~1,16` .

Wanneer de scores van het CE niet hoger zijn dan die van groep A, zou het verschil `0` moeten zijn. De nulhypothese is daarom `text(H)_0` : `mu_V = 0` en de alternatieve hypothese luidt `text(H)_1` : `mu_V gt 0` .

`text(P)(V > g | mu_V = 0 text( en ) sigma_V = 1,16) lt 0,05` geeft `g ~~ 1,92` .
Omdat `mu_V = 0,11` is de afwijking (ruim) onvoldoende om te concluderen dat de cijfers van het SE significant beter zijn.

Opgave 14

De theoretische waarden zijn `1/32*320=10` , `5/32*320=50` , `100` , `100` , `50` en `10` . Dit geeft `chi^2 ~~ 11,96` .

`text(P)(chi^2 > 11,96) ~~ 0,0353 lt 0,05` .
Dus ligt `11,96` in het kritieke gebied en is de afwijking significant.

Opgave 15Testen op muizen
Testen op muizen
a

`X` is het aantal dagen dat middel A beter werkt dan middel B.
In de steekproef van `20` dagen komt dit `4` keer voor.
Er komt ook `1` keer voor dat de aantallen gelijk zijn, dus die keer wordt niet meegeteld.
Je toetst `text(H)_0: p = 0,5` tegen `text(H)_1: p != 0,5` met `alpha = 0,05` .

b

`text(P)(X < = 4 | n = 19 text( en ) p = 0,5) ~~ 0,0096 < 0,025` dus de nulhypothese mag worden verworpen en middel B werkt significant beter dan middel A.

Opgave 16Voetlengtes
Voetlengtes
a

Omdat beide groepen even groot zijn, zou dit op zich kunnen. Elke man koppel je dan aan één vrouw en je trekt hun voetlengtes van elkaar af.
Toch lijkt het een vreemde methode omdat de gegevens eigenlijk niet gekoppeld zijn. Het is namelijk niet de voetlengte van één persoon, eerst in vrouwelijke en dan in mannelijke gedaante.

b

Nu vergelijk je twee normale verdelingen met elkaar en kijk je naar het verschil van hun gemiddelden. Of de gegevens zijn gekoppeld of niet is daarbij niet belangrijk. De beide groepen hoeven zelfs niet eens even groot te zijn.

c

Je toetst `text(H)_0: mu_M - mu_V = 0` tegen `text(H)_1: mu_M - mu_V > 0` met `sigma = sqrt(2,39^2 + 2,13^2) ~~ 3,20` en `alpha = 0,05` .
Uit de steekproef blijkt `mu_M - mu_V = 2,4` .
`text(P)(M - V > 2,4 | mu_M - mu_V = 0 text( en ) sigma = 3,20) ~~ 0,2266 > 0,05` en dus wijkt het gevonden resultaat niet genoeg af om te kunnen concluderen dat mannen grotere voeten hebben dan vrouwen.

Opgave 17Gregor Mendel
Gregor Mendel

De gevonden waarden zijn `x_1 = 315` , `x_2 = 108` , `x_3 = 101` en `x_4 = 32` . De theoretische waarden zijn `t_1 = 312,75` , `t_2 = 104,25` , `t_3 = 104,25` en `t_4 = 34,75` .
`chi^2 = ((315 - 312,75)^2)/(312,75) + ((108 - 104,25)^2)/(104,25) + ((101 - 104,25)^2)/(104,25) + ((32 - 34,75)^2)/(34,75) = 0,47`
`text(P)(chi^2 > 0,47) = 1 - text(P)(chi^2 lt = 0,47) ~~ 0,0746 < 0,10`
GR: `1 - chi^2(0,0.47,3)`
Dus ligt `0,47` in het kritieke gebied en is de afwijking significant.

Opgave 18
  • Tekentoets: twee sets meetgegevens vergelijken waarbij elk paar bij een bepaalde persoon of situatie past. De sets meetgegevens zijn daarom even groot.
    Je geeft elk paar meetgegevens een `+` of een `-` of je streept ze weg (als ze gelijk zijn). Het aantal plussen (of het aantal minnen) is een binomiale stochast.
    De nulhypothese is altijd `p = 0,5` , de alternatieve hypothese is `p > 0,5` of `p < 0,5` of beide.

  • `chi^2` -toets: een set meetgegevens `x_1` vergelijken met de theoretische waarden `t_i` .
    Je toetsgrootheid is `chi^2 = ((x_i - t_i)^2)/(t_i^2)` . Verder gebruik je de `chi^2` -verdeling van je grafische rekenmachine.

  • Verschiltoets: je toetst het verschil van de gemiddelden van twee normaal verdeelde variabelen `X` en `Y` , `V = X - Y` .

verder | terug