Hypothesen en verbanden

Opgave 1

Een fabrikant beweert dat hoogstens `20` % van de door hem geleverde producten niet deugt. Omdat de fabrikant toegeeft dat het percentage wel eens `20` % zou kunnen zijn is de nulhypothese `text(H)_0: p = 0,2` . Om dit te toetsen kun je bijvoorbeeld een steekproef van `40` producten nemen.

a

Hoe luidt de alternatieve hypothese?

b

Wat stelt `p` voor?

Als significantieniveau wordt `5` % genomen.

c

Wat wil dat zeggen?

d

Bij welke aantallen wordt de nulhypothese verworpen?

Opgave 2

De belastingdienst beweert dat wel `30` % van de Nederlanders op enigerlei wijze de belasting ontduikt. Deze mening wil je toetsen met een significantieniveau van `5` %.

a

Bepaal het kritieke gebied in een steekproef van `400` Nederlanders.

b

Je neemt een steekproef van `20.000` Nederlanders die belasting betalen. Bepaal ook nu het kritieke gebied.

Opgave 3

In een tijdschrift stond: "In 2009 behaalde, landelijk gezien, `75` % van de kandidaten op het vwo die examen deden in het vak wiskunde A een voldoende." Een zekere vwo-school had dat jaar `66` eindexamenkandidaten waarvan er `44` examen deden in wiskunde A. Slechts `7` kandidaten behaalden een onvoldoende.

Bepaal de grootst mogelijke betrouwbaarheid waarmee je nog juist aan de uitspraak gedaan in het tijdschrift mag twijfelen.

Opgave 4

11,9	11,1	11,4	12,6
11,6	11,4	11,7	11,8
11,8	11,8	12,4	12,5
11,7	12,3	11,3	12,2
11,9	12,6	11,7	11,8

Op het etiket van een pot jam staat dat het percentage rietsuiker `12,4` % is. Om dit te controleren wordt het percentage rietsuiker van `20` willekeurige potten jam bepaald.

a

Formuleer de hypothesen in deze situatie. Je mag aannemen dat het percentage rietsuiker normaal verdeeld is.

b

Schat met deze resultaten de standaardafwijking in het percentage rietsuiker.

Deze waarde van de standaardafwijking mag je bij de rest van deze opgave blijven gebruiken.

c

Toets je hypothese met een significantieniveau `alpha = 0,10` .

d

Bij welk gemiddeld percentage zou de nulhypothese verworpen worden?

Opgave 5

Een geldstuk is zuiver als de kans op munt gelijk is aan de kans op kruis. Of dat zo is kun je onderzoeken door maar vaak genoeg met dit geldstuk te gooien.

a

Is er met een significantie van `1` % reden om aan te nemen dat het geldstuk niet zuiver is als `47` van de `100` keer kruis gegooid wordt?

b

Stel je voor dat er `1000` keer wordt gegooid. Bij welk aantal keren kruis is er nu reden om aan te nemen dat het geldstuk niet zuiver is? Neem weer `alpha = 0,01` .

Opgave 6

dag	aantal geboorten
04/08	448
05/08	466
06/08	377
07/08	344
08/08	448
09/08	438
10/08	455
11/08	468
12/08	462
13/08	405
14/08	377
15/08	451
16/08	497
17/08	458
18/08	429
19/08	434
20/08	410
21/08	351
22/08	467
23/08	508

Op 9 november 1965 viel de stroom uit in New York City, een storing die `24` uur duurde: "The Great Blackout" . Negen maanden later schreven de kranten over een geboortenexplosie in New York. De tabel vermeldt het aantal geboorten in New York in een periode van `270` tot `290` dagen na "The Great Blackout" , in augustus 1966.
Het gemiddelde aantal geboorten per dag, dat over deze periode ongeveer `435` bedraagt, blijkt echter niet zoveel hoger te liggen dan het gemiddelde over het jaar 1966 dat `430` bedraagt. Neem aan dat het aantal geboorten per dag in New York City over het gehele jaar 1966 redelijk constant is.

a

Laat zien, dat het aantal dagen in de periode van 4 tot en met 23 augustus waarop het gemiddelde boven het jaargemiddelde ligt niet significant hoog is. Neem een significantieniveau van `5` %.

In de `20` dagen voorafgaande aan 4 augustus 1966 bleek op zoveel dagen het aantal geboorten kleiner te zijn dan `430` , dat men van een significante afwijking kan spreken bij een significantieniveau van `5` %.

b

Op hoeveel dagen was er sprake van een aantal geboorten beneden het gemiddelde?

4 augustus 1966 was een donderdag. Op de drie zondagen in de periode van 4 tot en met 23 augustus 1966 was het aantal geboorten kleiner dan `379` . Neem aan dat het aantal geboorten in New York normaal is verdeeld met een gemiddelde van `430` en een standaardafwijking van `40` in de `50` weken die volgen op de periode van 4 tot en met 23 augustus 1966.

c

Toon aan, dat in twee decimalen nauwkeurig de kans dat op een willekeurig gekozen dag het aantal geboorten kleiner dan `379` is, gelijk is aan `0,10` .

In de `50` zondagen die volgen op de periode van 4 tot en met 23 augustus 1966 blijken er `10` zondagen te zijn met een aantal geboorten kleiner dan `379` .

d

Is het aantal zondagen met een geboorte kleiner dan `379` significant hoog? Neem `alpha = 5` %.

Opgave 7

In 1947 hielden de wiskundigen Freudenthal en Sittig een statistisch onderzoek ten behoeve van een nieuw maatsysteem voor vrouwenkleding in opdracht van het warenhuis De Bijenkorf. Zij lieten daarbij een grote verscheidenheid aan lichaamsmaten opmeten van `5001` vrouwen. Zij vonden onder andere een sterke correlatie tussen de "taille" (de omtrek van het lichaam gemeten ter hoogte van de navel) en de "bovenwijdte" (de omtrek van het lichaam gemeten ter hoogte van de borst). De gevonden correlatiecoëfficiënt bedroeg ongeveer `0,9058` .
In hun rapport "De juiste maat" geven zij voor de bovenwijdte `b` een gemiddelde van `97,99` cm met een standaardafwijking van `10,12` cm en voor de taille `t` een gemiddelde van `80,45` cm met een standaardafwijking van `10,80` cm.

a

Welke betekenis heeft deze hoge correlatie tussen `b` en `t` voor een spreidingsdiagram van deze twee variabelen?

b

Stel de vergelijking op van de regressielijn van `b` op `t` met de constanten in twee decimalen nauwkeurig.

c

Bereken met behulp van deze regressielijn de gemiddelde bovenwijdte van een vrouw met een taille van `90` cm.

d

Waarom zal er in dit geval maar een klein regressie-effect zijn?

Testen