Rijen > Verschilrijen en somrijenVoorbeeld 3
De beroemde rij van Fibonacci is:
`1`
,
`1`
,
`2`
,
`3`
,
`5`
,
`8`
,
`13`
,
`21`
,
`34`
, ...
Wat valt je op als je de bijbehorende verschilrij bekijkt?
Bereken de som van de eerste
`100`
termen van de rij van Fibonacci.
De verschilrij is:
`0`
,
`1`
,
`1`
,
`2`
,
`3`
,
`5`
,
`8`
,
`13`
,
`21`
, ...
Behalve de eerste term is de verschilrij gelijk aan de rij zelf, alleen de nummering
verschuift met
`2`
. (Denk er om dat er geen nulde term is bij de verschilrij!)
Noem nu de termen van de rij van Fibonacci
`f(n)`
met
`n=0 ,1 ,2 ,...`
Dan is dus de verschilrij:
`∆ f(n)=f(n)-f(n-1 )=f(n-2 )`
.
De rij van Fibonacci heeft daarom als recursieformule:
`f(n)=f(n-1 )+f(n-2 )`
met
`f(0 )=1`
en
`f(1 )=1`
.
Nu kun je de rij in de grafische rekenmachine invoeren en de som van de eerste `100` termen laten berekenen door de machine. (Het kost wat rekentijd...)
|
|
|
|
In
Bekijk hoe de recursieformule van deze rij wordt opgesteld.
Bereken met je grafische rekenmachine de som van de eerste `20` termen van de rij van Fibonacci.
Gegeven is de rij `t(i)=5 i+2` voor `i≥0` .
Stel een formule op voor de verschilrij `V(i)` .
Bereken `sum_(i=0)^(5) t(i)` . Is dit nu de vierde, vijfde of de zesde term van de somrij `S(i)` ? Is het `S(4 )` , `S(5 )` of `S(6 )` ?
Welke termen van `t(i)` moet je optellen om `sum_(i=2)^(5) t(i)` te berekenen? Waarom is dit gelijk aan `S(5 )-S(1 )` ?