Rijen > Rekenkundige rijenAntwoorden van de opgaven
Als je er niet uitkomt, bekijk dan de
Dat zie je in de
Elke term is dan evenveel meer (of minder) dan de voorgaande term.
`u(n)=u(n-1 )+v` en `u(0 )=a` waarin `v` en `a` constanten zijn.
Je telt
`100 + 150 + 200 + 250 + ... + 900`
en
`900 + 850 + 800 + 750 + ... + 100`
bij elkaar door het onder elkaar te zetten. Je krijgt
`17 *900`
.
Dus
`100 + 150 + 200 + 250 + ... + 900 = 1/2 * 17 * 900 = 7650`
.
`1/2 * 100 * (1 + 100) = 5050`
`u(n)=a+n*v` met `n≥0` .
`u(n)=u(n-1 )+v` en `u(0 )=a` waarin `v` en `a` constanten zijn.
`a+(a+v)+(a+2 v)+...+(a+9 v)=1/2*10 *(a+a+9 v)=10 a+45 v` .
`1/2*n*(a+a+(n-1 )v)=na+1/2n(n-1 )v` .
Rekenkundige rij: directe formule `u(n)=5 +9 n` ; recursieformule `u(n)=u(n-1 )+9` met `u(0 )=5` .
Geen rekenkundige rij.
Rekenkundige rij: directe formule `u(n)=10 -8 n` ; recursieformule `u(n)=u(n-1 )-8` met `u(0 )=10` .
Geen rekenkundige rij.
Geen rekenkundige rij.
Geen rekenkundige rij.
Geen rekenkundige rij.
GR: sum(seq(2400+50X,X,0,9). Dit geeft een totaal van € 26250.
`S(9 )=1/2*10 *(2400 +2400 +9 *50 )=26250` euro.
`S(9 )-S(4 )=26250 -12500 =13750` euro.
€ 125
€ 124; € 123.
De te betalen bedragen vormen een rekenkundige rij en kunnen dus door een lineaire directe formule worden beschreven.
`B(t)=125 -(t-1 )` met `t = 1 , 2 ,..., 25` .
`S(30 )=1/2*30 *(125 +101 )=3390` euro. Ze betaalt dus in totaal `890` euro aan rente!
`S(20 )=1/2*20 *(u(0 )+u(20 ))=10 (a+a+20 v)=20 a+200 v` .
`1/2*11 *(u(10 )+u(20 ))=1/2*11 *(a+10 v+a+20 v)=11 a+165 v` .
`t_n-t_(n-1) =5`
`S(6 )= sum_(n=0)^6 5 n+2 =1/2*7 *(2 +32 )=119` .
`sum_(n=7)^13 5 n+2 = 1/2*7 *(t_7 +t_13 )=1/2*7 *(37 +67 )=399` .
`5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17` en `r_(n)=5 +2 n` .
`5 , 2 , text(-)1 , text(-)4 , text(-)7 , text(-)10 , text(-)13` en `r_n=5 -3 n` .
`1 ; 0,9 ; 0,8 ; 0,7 ; 0,6 ; 0,5 ; 0,4` en `r_n=1 -0,1 n` .
`5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5` en `r_n=5` .
`192` ; `text(-)138` ; `5,4` ; `60`
`120` ; `text(-)105` ; `1,5` ; `30` ;
`sum_(n=0)^(20) (50+2,5n) = 1/2 * 21 * (50 + 100) = 1575`
`sum_(n=10)^(20) (50+2,5n) = 1/2 * 11 * (75 + 100) = 962,5`
Begin met nummeren bij nul. Dan
`t(2 )=a+2 v=10`
en
`t(6 )=a+6 v=22`
. Dat geeft
`4 v=12`
en dus
`v=3`
en
`a=4`
.
De directe formule voor de rij is daarom
`t(n)=4 +3 n`
met
`n≥0`
.
De recursieformule voor de rij is
`t(n+1 )=t(n)+3`
met
`t(0 )=4`
.
`8000 +0,04 *240000 =17600` euro.
Respectievelijk `17280` euro en `16960` euro.
De te betalen bedragen vormen een rekenkundige rij en hebben dus een lineaire directe formule. Deze hypotheekvorm is de eerste jaren nogal duur.
`B(t)=17600 -320 (t-1 )` met `t= 1 , 2 , 3 , ... , 30` .
`S(30 )=1/2*30 *(17600 +8320 )=388800` euro.
`s` is het startnummer en `n` het totaal aantal deelnemers.
De som van de nummers die kleiner zijn dan `s` , is `0,5*(s-1)*(s-1+1)=0,5(s^2-s)` .
De som van de nummers die groter zijn dan `s` , is `0,5*(n-s)(n+s+1)=0,5(n^2+n-s^2-s)` .
Er moet gelden dat `0,5(s^2-s)=0,5(n^2+n-s^2-s)` . Dit kun je herleiden naar `n(n+1)=2s^2` .
`n` en `n+1` hebben geen delers groter dan `1` gemeen. Dit betekent dat `n` of `n+1` een kwadraat moet zijn en de ander twee keer een kwadraat.
Omdat `10 le n le 100` is het aantal mogelijkheden snel na te gaan. Je vindt dan dat `n=49` .
Nu kun je `s` ook uitrekenen: `49*50=2s^2` , hieruit volgt dat `s^2=25*49=5^2*7^2` en dus `s=5*7=35` .
`1/2*512 *(2 +1024 )=262656`
`sum_(i=0)^(20) (8 +1/3i)=238`
`sum_(k=1)^(100) (5 +2 k)=10600`
€ 57,50
`B(t)=58 -(t-1 )*0,50` met `t=1 ,2 ,3 ,...16` .
Totaalbedrag € 868.