Rijen

Rijen > Meetkundige rijen

123456Meetkundige rijen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

`2^63`

In totaal zijn dat `1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^63` graankorrels. Dat is `2^64-1 ≈1,84 *10^19` graankorrels. Zie ook Voorbeeld 2.

Opgave 1

Elke term wordt verkregen door de voorgaande term met een vast getal te vermenigvuldigen.

`u(n)=u(n-1 )*r` en `u(0 )=a` waarin `r` en `a` constanten zijn.

Opgave 2

`100 +200 +400 +800 +...+12800 =100 +100 *2^1+100 *2^2+100 *2^3+...+100 *2^7=S(7 )`
`S(7 )-2 *S(7 )=100 -100 *2^8` , dus `S(7 )=100 *2^8-100 =25500` .

`1 +2 +4 +8 +...+2^10=S(10 )` , dus `S(10 )-2 *S(10 )=1 -2^11` , zodat `S(10 )=2^11-1 =2047` .

Opgave 3

`u(n)=a*r^n` met `n≥0` .

`u(n)=u(n-1 )*r` en `u(0 )=a` waarin `r` en `a` constanten zijn.

`a+a*r+a*r^2+...+a*r^9=S(9 )` .
`S(9 )-r*S(9 )=a-a*r^10` , dus `S(9 )= (a-a*r^10) / (1 -r)` .

`S(n-1 )= (a-a*r^n) / (1 -r)`

Opgave 4

Geen meetkundige rij.

Meetkundige rij: directe formule `u(n)=320 *0,5^n` met `n≥0` ; recursieformule `u(n)=u(n-1 )*0,5` met `u(0 )=320` .

Geen meetkundige rij.

Meetkundige rij: directe formule `u(n)=1 *3^n` met `n≥0` ; recursieformule `u(n)=u(n-1 )*3` met `u(0 )=1` .

Meetkundige rij: directe formule `u(n)=2 *3^n` met `n≥0` ; recursieformule `u(n)=u(n-1 )*3` met `u(0 )=2` .

Meetkundige rij: directe formule `u(n)=5 * (sqrt(3 ))^n` met `n≥0` ; recursieformule `u(n)=u(n-1 )*sqrt(3 )` met `u(0 )=5` .

Opgave 5

Je ziet dat er van een meetkundige rij sprake is: `a_n=2^n` met `n=0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,...` (Het eerste veld krijgt nummer `0` .)

Je doet: sum(seq(2^X,X,0,19). Dit geeft een totaal van 1.048.575.

`S(9 )= ((1 -2^20)) / (1 -2) =1048575`

`S(9 )-S(4 )=1048575 -31 =1048544`

Het totaal aantal graankorrels is:
`S(63 )=sum_(k=0)^(63) 1 *2^k= (1 (1 -2^64)) / (1 -2) =2^64-1` .

Opgave 6

`50 +50 *1,005 =100,25` , dus € 100,25.
En drie maanden na je verjaardag: `50 +50 *1,005 +50 *1,005^2=150,75` , dus € 150,75.

Wat er maandelijks bij komt is steeds `1,005` keer zo groot dat wat er de maand ervoor bij kwam.

`B(t)=50 *1,005^t` met `t=0 ,1 ,2 ,...`

`S(23 )=50 * ((1 - 1,005^24)) / ((1 - 1,005 )) ≈1271,60` euro.

Opgave 7

Over 2011: `6600 *1,05 =6930` euro. Over 2012: `6930 *1,05 =7276,50` euro.

`h_n=6600 *1,05^n` .

`S(9 )=6600 * ((1 -1,05^10)) / ((1 -1,05 )) ≈83014,09` euro.

Opgave 8

`sum_(k=0)^n 2/((text(-)2)^k)=2*(1-r)^(n+1)/(1-r)`

`sum_(k=0)^n 2*(text(-)1/2)^k` = `2*(1-(text(-)1/2)^(n+1))/(1-r)`

Omdat `(text(-)1/2)^(n+1) rarr 0` voor `n rarr oo` is `sum_(k=0)^∞ 2*(text(-)1/2)^k = 2/(1 1/2)=4/3` .

`sum_(k=0)^n 10*(1/5)^k=10*(1-(1/5)^(n+1))/(1-(1/5)) = 10/(4/5)= 50/4=12,5` als `n rarr oo` .

Opgave 9

`sum_(k=0)^n a*r^k= a* (1-r^(n+1))/(1-r)`

Als `text(-)1 < r < 1` , dan gaat `r^(n+1)` naar `0` als `n` steeds groter wordt. Als `r le text(-)1` of `r ge 1` dan wordt `r^(n+1)` steeds kleiner of groter als `n` groter wordt, of blijft `text(-)1` of `1` .

Als `r=1` , dan deel je door `0` in de somformule en dat kan niet. Je krijgt dan ook de rij `a, a, a, ...` en de som van al deze termen is onbegrensd.

Opgave 10

`(t_n) / (t_(n-1)) =2`

`S(6 )= sum_(n=0)^6 3*2^(n+1) = sum_(n=0)^6 6 *2^n = 6 * (1 -2^7) / (1 -2) =762` .

`S(13 )-S(6 )=98298 -762 =97536` .

Opgave 11

`3 , 6 , 12 , 24 , 48 , 96 , 192` en `m_(n)=3 *2^n` .

`1 , text(-)2 , 4 , text(-)8 , 16 , text(-)32 , 64` en `m_(n)= (text(-)2 ) ^n` .

`100 ; 10 ; 1 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; 0,0001` en `m_n=100 * (0,1) ^n` .

`5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5` en `m_n=5` .

`12285` ; `text(-)1365` ; `111,111...` ; `60`

`2976` ; `text(-)352` ; `0,00111...` ; `25`

Opgave 12

Begin met nummeren bij nul. Dan `t(2 )=ar^2=10` en `t(6 )=ar^6=40` . Dat geeft `40 =10 r^4` , dus `r=±sqrt(2 )` . Dus `ar^2=a*2 =10` en dat levert `a=5` .
De directe formule voor de rij is `t(n)=5 * (sqrt(2 )) ^n` met `n≥0` .
De recursieformule voor de rij is `t(n+1 )=t(n)*sqrt(2 )` met `t(0 )=5` .

Opgave 13

`h_A(n)=3000 +140 n` en `h_B(n)=3000 *1,04^n` met `n≥0` .

`h_A(8 )=4120` en `h_B(8 )=4105,71` . Maar `h_A(9 )=4260` en `h_B(9 )=4269,94` . Dus in het negende jaar.

`S_A(9 )=1/2*10 *(3000 +4260 )=36300` euro.

`S_B(9 )=3000 * (1 -1,04^10) / (1 -1,04) ≈36018,32` euro.

Opgave 14

De jaarrente is dan `1 + 1,013 + 1,013^2 + ... + 1,013^11 = 1,013^12-1 ≈ 0,168` .

Opgave 15

`15*(1-(1/3)^10)/(1-1/3)~~22,5`

`sum_(k=4)^12 u_k=sum_(k=0)^12 u_k-sum_(k=0)^3 u_k approx 0,28`

`sum_(k=0)^(oo) u_k=15*1/(1-1/3)=22,5`

Dus `c=22,5` .

Opgave 16Hypotheekvormen

Hypotheekvormen

Bij een lineair afbetalingssysteem betaal je $30$ keer $8000$ euro aflossing en $9600 + 9280 + 8960 + ... + 320 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot (9600 + 320) = 148800$ euro rente. In totaal kost deze hypotheek dus € 388800,00.

Bij een annuïteiten afbetalingssysteem betaal je $30$ keer hetzelfde bedrag $A$ (de annuïteit).
$A$ bereken je uit $240000 \cdot {1,04}^{(30)} - A \cdot ({1,04}^{29} + {1,04}^{28} + ... + 1,04 + 1) = 0$ , dus uit $240000 \cdot {1,04}^{(30)} = A \cdot \frac{1 - {1,04}^{30}}{1 - 1,04}$ .
Dit geeft $A \approx 13879,22$ en je betaalt dus in totaal € 416376,60.

Opgave 17

`1024 + 512 + 256 + ... + 4 + 2 + 1 = 2^10+2^9+...+2^2+2^1+2^0=2047` .

Opgave 18

`sum_(i=0)^(10) 100 * (1/3) ^i ≈149,999`

`sum_(k=5)^(10) 4 * (text(-2)) ^k =15325`

Opgave 19

Na `3` stappen is nog `1/8` deel wit en dus `7/8` deel rood.

Na `n` stappen is nog `(1/2) ^n` deel wit. Rood is dan `R(n)=1 - (1/2) ^n` m².

Na `14` stappen.

Eerste rij: Als er wordt gekleurd zoals in de figuur, dan zijn die lengtes `1 , 1 , 1/2, 1/2, 1/4, 1/4,...` Dit is geen rekenkundige en geen meetkundige rij.
Tweede rij: `1 , 1/2, 1/4, 1/8,...` is een meetkundige rij.
Derde rij: `0 , 1/2, 3/4, 7/8,...` is geen meetkundige en geen rekenkundige rij.

verder | terug