Rijen > Meetkundige rijen
123456Meetkundige rijen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`2^63`

b

In totaal zijn dat `1 +2 +2^2+2^3+... +2^63` graankorrels. Dat is `2^64-1 ≈1,84 *10^19` graankorrels. Zie ook Voorbeeld 2.

Opgave 1
a

Elke term wordt verkregen door de voorgaande term met een vast getal te vermenigvuldigen.

b

`u(n)=u(n-1 )*r` en `u(0 )=a` waarin `r` en `a` constanten zijn.

Opgave 2
a

`100 +200 +400 +800 +...+12800 =100 +100 *2^1+100 *2^2+100 *2^3+...+100 *2^7=S(7 )`
`S(7 )-2 *S(7 )=100 -100 *2^8` , dus `S(7 )=100 *2^8-100 =25500` .

b

`1 +2 +4 +8 +...+2^10=S(10 )` , dus `S(10 )-2 *S(10 )=1 -2^11` , zodat `S(10 )=2^11-1 =2047` .

Opgave 3
a

`u(n)=a*r^n` met `n≥0` .

b

`u(n)=u(n-1 )*r` en `u(0 )=a` waarin `r` en `a` constanten zijn.

c

`a+a*r+a*r^2+...+a*r^9=S(9 )` .
`S(9 )-r*S(9 )=a-a*r^10` , dus `S(9 )= (a-a*r^10) / (1 -r)` .

d

`S(n-1 )= (a-a*r^n) / (1 -r)`

Opgave 4
a

geen meetkundige rij.

b

meetkundige rij: directe formule `u(n)=320 *0,5^n` met `n≥0` ; recursieformule `u(n)=u(n-1 )*0,5` met `u(0 )=320` .

c

geen meetkundige rij.

d

geen meetkundige rij.

e

meetkundige rij: directe formule `u(n)=1 *3^n` met `n≥0` ; recursieformule `u(n)=u(n-1 )*3` met `u(0 )=1` .

f

meetkundige rij: directe formule `u(n)=2 *3^n` met `n≥0` ; recursieformule `u(n)=u(n-1 )*3` met `u(0 )=2` .

g

meetkundige rij: directe formule `u(n)=5 * ((sqrt(3 ))) ^n` met `n≥0` ; recursieformule `u(n)=u(n-1 )*sqrt(3 )` met `u(0 )=5` .

Opgave 5
a

Je ziet dat er van een meetkundige rij sprake is: `a_n=2^n` met `n=0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,...` (Het eerste veld krijgt nummer `0` .)

Je doet: sum(seq(2^X,X,0,19). Dit geeft een totaal van 1.048.575.

b

`S(9 )= ((1 -2^20)) / (1 -2) =1048575` .

c

`S(9 )-S(4 )=1048575 -31 =1048544` .

c

Het totaal aantal graankorrels is:
`S(63 )=sum_(k=0)^(63) 1 *2^k= (1 (1 -2^64)) / (1 -2) =2^64-1` .

Opgave 6
a

`50 +50 *1,005 =100,25` , dus € 100,25.
En drie maanden na je verjaardag: `50 +50 *1,005 +50 *1,005^2=150,75` , dus € 150,75.

b

Wat er maandelijks bij komt is steeds `1,005` keer zo groot dat wat er de maand ervoor bij kwam.

c

`B(t)=50 *1,005^t` met `t=0 ,1 ,2 ,...`

d

`S(23 )=50 * ((1 -1,005^24)) / ((1 -1,005 )) ≈1271,60` euro.

Opgave 7
a

Over 2011: `6600 *1,05 =6930` euro. Over 2012: `6930 *1,05 =7276,50` euro.

b

`h_n=6600 *1,05^n` .

c

`S(9 )=6600 * ((1 -1,05^10)) / ((1 -1,05 )) ≈83014,09` euro.

Opgave 8
a

`4/3`

b

`12,5`

Opgave 9

`sum_(k=0)^n a*r^k= a* (1-r^(n+1))/(1-r)`

Als `text(-)1 < r < 1` , dan gaat `r^(n+1)` naar `0` als `n` steeds groter wordt. Als `r le text(-)1` of `r ge 1` dan wordt `r^(n+1)` steeds kleiner of groter als `n` groter wordt, of blijft `text(-)1` of `1` .

Als `r=1` , dan deel je door `0` in de somformule en dat kan niet. Je krijgt dan ook de rij `a, a, a, ...` en de som van al deze termen is onbegrensd.

Opgave 10
a

`(t_n) / (t_n-1) =2`

b

`S(6 )=∑n=0 6 3 *2^ (n+1) =∑n=0 6 6 *2^n=6 * (1 -2^7) / (1 -2) =762` .

c

`S(13 )-S(6 )=98298 -762 =97536` .

Opgave 11
a

`3 , 6 , 12 , 24 , 48 , 96 , 192` en `m_(n)=3 *2^n` .

b

`1 , text(-)2 , 4 , text(-)8 , 16 , text(-)32 , 64` en `m_(n)= (text(-)2 ) ^n` .

c

`100 ; 10 ; 1 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; 0,0001` en `m_n=100 * (0,1) ^n` .

d

`5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5` en `m_n=5` .

e

`12285` ; `text(-)1365` ; `111,111...` ; `60`

f

`2976` ; `text(-)352` ; `0,00111...` ; `25`

Opgave 12

Begin met nummeren bij nul. Dan `t(2 )=ar^2=10` en `t(6 )=ar^6=40` . Dat geeft `40 =10 r^4` , dus `r=±sqrt(2 )` . Dus `ar^2=a*2 =10` en dat levert `a=5` .
De directe formule voor de rij is `t(n)=5 * (sqrt(2 )) ^n` met `n≥0` .
De recursieformule voor de rij is `t(n+1 )=t(n)*sqrt(2 )` met `t(0 )=5` .

Opgave 13
a

`h_A(n)=3000 +140 n` en `h_B(n)=3000 *1,04^n` met `n≥0` .

b

`h_A(8 )=4120` en `h_B(8 )=4105,71` . Maar `h_A(9 )=4260` en `h_B(9 )=4269,94` . Dus in het negende jaar.

c

`S_A(9 )=1/2*10 *(3000 +4260 )=36300` euro.

d

`S_B(9 )=3000 * (1 -1,04^10) / (1 -1,04) ≈36018,32` euro.

Opgave 14

De jaarrente is dan `1 +1,013 +1,013^2+... +1,013^11=1,013^12-1 ≈0,168`

Opgave 15
a

`15*(1-(1/3)^10)/(1-1/3)~~22,5`

b

`sum_(k=4)^12 u_k=sum_(k=0)^12 u_k-sum_(k=0)^3 u_k approx 0,28`

c

`sum_(k=0)^(oo) u_k=15*1/(1-1/3)=22,5`

Dus `c=22,5` .

Opgave 16Hypotheekvormen
Hypotheekvormen
a

Bij een lineair afbetalingssysteem betaal je 30 keer 8000 euro aflossing en 9600 + 9280 + 8960 + ... + 320 = 1 2 30 ( 9600 + 320 ) = 148800 euro rente. In totaal kost deze hypotheek dus € 388800,00.

b

Bij een annuïteiten afbetalingssysteem betaal je 30 keer hetzelfde bedrag A (de annuïteit).
A bereken je uit 240000 1,04 ( 30 ) - A ( 1,04 29 + 1,04 28 + ... + 1,04 + 1 ) = 0 , dus uit 240000 1,04 ( 30 ) = A 1 - 1,04 30 1 - 1,04 .
Dit geeft A 13879,22 en je betaalt dus in totaal € 416376,60.

Opgave 17

`1024 +512 +256 +...+4 +2 +1 =2^10+2^9+...+2^2+2^1+2^0=2047` .

Opgave 18
a

`sum_(i=0)^(10) 100 * (1/3) ^i ≈149,999`

b

`sum_(k=5)^(10) 4 * (text(-2)) ^k =15325`

Opgave 19
a

Na `3` stappen is nog `1/8` deel wit en dus `7/8` deel rood.

b

Na `n` stappen is nog `(1/2) ^n` deel wit. Rood is dan `R(n)=1 - (1/2) ^n` m2.

c

Na `14` stappen.

d

Eerste rij: Als er wordt gekleurd zoals in de figuur, dan zijn die lengtes `1 , 1 , 1/2, 1/2, 1/4, 1/4,...` . Dit is geen rekenkundige en geen meetkundige rij.
Tweede rij: `1 , 1/2, 1/4, 1/8,...` is een meetkundige rij.
Derde rij: `0 , 1/2, 3/4, 7/8,...` is geen meetkundige en geen rekenkundige rij.

verder | terug