Rijen > Meetkundige rijen
123456Meetkundige rijen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`2^63`

b

In totaal zijn dat `1 +2 +2^2+2^3+... +2^63` graankorrels. Dat is `2^64-1 ≈1,84 *10^19` graankorrels. Zie ook Voorbeeld.

Opgave 1
a

Deze moet dan zijn van de vorm: `u(n)=b*r^n` .
Uiteraard met `b` en `r` constanten.

b

`u(n)=u(n-1 )*r` en `u(0 )=a` waarin `r` en `a` constanten zijn.

Opgave 2
a

`100 +200 +400 +800 +...+12800 =100 +100 *2^1+100 *2^2+100 *2^3+...+100 *2^7=S(7 )` `S(7 )-2 *S(7 )=100 -100 *2^8` , dus `S(7 )=100 *2^8-100 =25500` .

b

`1 +2 +4 +8 +...+2^10=S(10 )` , dus `S(10 )-2 *S(10 )=1 -2^11` , zodat `S(10 )=2^11-1 =2047` .

Opgave 4
a

`u(n)=a*r^n` met en `n≥0` .

b

`u(n)=u(n-1 )*r` en `u(0 )=a` waarin `r` en `a` constanten zijn.

c

`a+a*r+a*r^2+...+a*r^9=S(9 )`
`S(9 )-r*S(9 )=a-a*r^10` , dus `S(9 )= (a-a*r^10) / (1 -r)= (a*(1-r^n))/(1-r)`

d

`S(n-1 )= (a-a*r^n) / (1 -r)=(a*(1-r^n))/(1-r)`

Opgave 5
a

geen meetkundige rij

b

meetkundige rij
directe formule `u(n)=320 *0,5^n` met `n≥0` .
recursieformule `u(n)=u(n-1 )*0,5` met `u(0 )=320` .

c

geen meetkundige rij

d

geen meetkundige rij

e

meetkundige rij
directe formule `u(n)=1 *3^n=3^n` met `n≥0` .
recursieformule `u(n)=u(n-1 )*3` met `u(0 )=1` .

f

meetkundige rij
directe formule `u(n)=2 *3^n` met `n≥0` .
recursieformule `u(n)=u(n-1 )*3` met `u(0 )=2` .

g

meetkundige rij
directe formule `u(n)=5 * (sqrt(3 )) ^n` met `n≥0` .
recursieformule `u(n)=u(n-1 )*sqrt(3 )` met `u(0 )=5` .

Opgave 6
a

Na twee maanden € 100,25.
Na drie maanden € 150,75.

b

Wat er maandelijks bij komt, is steeds `1,005` keer zo groot als wat er de maand ervoor bij kwam.

c

`B(t)=50 *1,005^t` met `t=0 ,1 ,2 ,...`

d

`S(23 )=50 * (1 -1,005^24) / (1 -1,005) ≈1271,60` euro

Opgave 7
a

Over 2011: € 6930,00

Over 2012: € 7276,50

b

`h_n=6600 *1,05^n`

c

€ 83014,09

Opgave 8
a

`4/3`

b

`12,5`

Opgave 9

`sum_(k=0)^n a*r^k= a* (1-r^(n+1))/(1-r)`

Als `text(-)1 < r < 1` , dan gaat `r^(n+1)` naar `0` als `n` steeds groter wordt. Als `r le text(-)1` of `r ge 1` dan wordt `r^(n+1)` steeds kleiner of groter als `n` groter wordt, of blijft `text(-)1` of `1` .

Als `r=1` , dan deel je door `0` in de somformule en dat kan niet. Je krijgt dan ook de rij `a, a, a, ...` en de som van al deze termen is onbegrensd.

Opgave 10
a

`(t_n) / (t_(n-1)) =2` , dus je vermenigvuldigt telkens met `2` en daarom is het een meetkundige rij.

b

`S(6 )=sum_(n=0)^6 3 *2^ (n+1) =762`

c

`sum_(n=7)^13 t_n =97536`

Opgave 11
a

`3, 6, 12, 24, 48, 96, 192` en `m_1(n)=3 *2^n` .

`1, text(-)2, 4, text(-)8, 16, text(-)32, 64` en `m_2(n)= (text(-)2) ^n` .

`100; 10; 1; 0; 1; 0,01; 0,001; 0,0001` en `m_3(n)=100 * (0 ,1) ^n` .

`5, 5, 5, 5, 5, 5, 5` en `m_4(n)=5` .

b

`12285` ; `text(-)1365` ; `111,111` ; `60` .

c

`2976` ; `text(-)352` ; `0,001` ; `25`

d

`m_3(n): sum_(n=0)^(oo) 100*0,1^n= 111 1/9`

Opgave 12

De directe formule voor de rij is `t(n)=5 * (sqrt(2)) ^n` met `n≥0` .
De recursieformule voor de rij is `t(n+1 )=t(n)*sqrt(2 )` met `t(0 )=5` .

Opgave 13
a

`h_A(n)=3000 +140 n` en `h_B(n)=3000 *1,04^n` met `n≥0` .

b

Vanaf het tiende jaar.

c

€ `36300,00`

d

€ `36018,32`

Opgave 14
a

Recursieformule: `a(n)=1,5*a(n-1)` met `a(0)=16` .

Directe formule: `a(n)=16*1,5^n` met `n>=0` .

b

`sum_(k=0)^15 a(n) approx 20986,9`

c

`S(n)=text(-)32+48*1,5^n`

Opgave 15
a

`22,5`

b

`sum_(k=4)^12 u_k approx 0,28`

c

`c=22,5`

Opgave 16

De reden is `2` .

Opgave 17

`1024 +512 +256 +...+4 +2 +1 =2^10+2^9+...+2^2+2^1+2^0=2047` .

Opgave 18

De jaarrente is dan `1 +1,013 +1,013^2+... +1,013^11=1,013^12-1 ≈0,168`

Opgave 19
a

`sum_(i=0)^(10) 100 * (1/3)^i ≈ 149,999`

b

`sum_(k=5)^(10) 4 * (text(-)2)^k = 2688`

Opgave 20
a

Na `3` stappen is nog `1/8` deel wit en dus `7/8` deel rood.

b

Na `n` stappen is nog `((1/2)) ^n` deel wit. Rood is dan `R(n)=1 - ((1/2)) ^n` m2.

c

Na `14` stappen.

d

Eerste rij: Als er wordt gekleurd zoals in de figuur, dan zijn die lengtes `1, 1, 1/2, 1/2, 1/4, 1/4, ...` . Dit is geen rekenkundige en geen meetkundige rij.
Tweede rij: `1, 1/2, 1/4, 1/8, ...` is een meetkundige rij.
Derde rij: `0, 1/2, 3/4, 7/8, ...` is geen meetkundige en geen rekenkundige rij.

verder | terug