Rijen > Meetkundige rijen
123456Meetkundige rijen

Uitleg

Stel je huurt een studio voor € 4800,00 per jaar. Bij een jaarlijkse huurverhoging van 2% kun je de jaarlijkste huurkosten `h` (in euro) na `n` jaar uitrekenen met de volgende directe formule:  `h(n)=4800 *1,02^n` .

Als je de grafiek van deze rij op de grafische rekenmachine bekijkt, dan zie je een rij punten die op een kromme stijgende lijn liggen: `h(n)` is een exponentiële functie.
Wil je weten hoeveel je over de eerste vijf jaar aan huur moet betalen, dan moet je de volgende berekening maken:
`S(4)=4800+1,02*4800+1,02^2*4800+1,02^3*4800+1,02^4*4800`
Vermenigvuldig deze som met `1,02` en trek de uitkomst hiervan af van `S(4)` :

`S(4 )`

`=`

`4800 +4800 *1,02 +4800 *1,02^2+4800 *1,02^3+4800 *1,02^4`

`1,02 *S(4 )`

`=`

`4800 *1,02 +4800 *1,02^2+4800 *1,02^3+4800 *1,02^4+4800 *1,02^5`

`S(4 )-1,02 *S(4 )`

`=`

`4800 -4800 *1,02^5`

Dit kun je ook schrijven als: `(1 -1,02 )*S(4 )=4800 *(1 -1,02^5)` .
En dus is `sum_(n=0)^4 4800 *1,02^n= (4800 (1 -1,02^5)) / (1 -1,02) ≈24979,39` .

Opgave 1

In de uitleg is sprake van een rij met een exponentiële functie.

a

Hoe kun je aan de directe formule van een rij zien dat hij meetkundig is?

b

Hoe ziet de recursieformule van een meetkundige rij er altijd uit?

Opgave 2

Bij rijen met een exponentiële functie, kun je de som van een aantal termen op een handige manier vinden zonder de grafische rekenmachine te hoeven gebruiken.

a

Bereken `100 +200 +400 +800 +...+12800` op dezelfde manier als in de uitleg.

b

Bereken nu `1 +2 +4 +8 +...+2^10` op deze manier.

Opgave 4

Een rij ziet er zo uit: `a,a*r,a*r^2,a*r^3,a*r^4,...` .

a

Hoe ziet de directe formule van deze rij `u(n)` eruit?

b

Hoe ziet de recursieformule van deze rij eruit?

c

Bereken de som van de eerste tien termen van deze rij.

d

Bereken de som van de eerste `n` termen van deze rij.

verder | terug