Rijen > Discrete dynamische modellen
123456Discrete dynamische modellen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Maak een tabel op je GR (of in Excel).
Ongeveer € 1933,26.

b

Maak een tabel op je GR (of in Excel).
Na `30` maanden heb je € 3054,14 en dat is voor het eerst meer dan € 3000,00.

Opgave 1
a

Discreet omdat het over vaste tijdstappen gaat en dynamisch omdat er sprake is van een verandering in de tijd.

b

`K(t)=1240 *1,005^t+50 * (1 -1,005^t) / (1 -1,005) =1240 *1,005^t-10000 (1 -1,005^t)=` `11240 *1,005^t-10000`

Opgave 2
a

`B(t)` is het aantal bomen op dit perceel afhankelijk van de tijd `t` in jaren.
`B(t)=B(t-1)*0,85+1000` , met `t=1, 2, 3, 4, ...`

b

Zie de tabel bij a. Als je deze tabel en de grafiek bekijkt, lijkt de `7000` bomen niet gehaald te worden.

Opgave 3
a

`K(t)=1,12 *K(t-1 )+1500` met `K(0 )=1500` .

b

Gebruik de GR voor het maken van de tijdgrafiek.

Het saldo gaat snel omhoog.

c

Na `10` jaar staat er € 18743,98. Na `11` jaar staat er € 21430,93. Dus na `11` jaar is het kapitaal meer dan € 20000,00.

Opgave 4
a

Eigen antwoord.

b

Doen.

c

`B(t)=5000 *0,82^t+1000 *0,82^ (t-1) +1000 *0,82^ (t-2) +... +1000 =` `5000*0,82^t + 1000*(1-0,82^1)/(1-0,82)`
Dit geeft `B(t) = 5000*0,82^t + 5555 5/9 (1-0,82^t) = 5555 5/9-555 5/9*0,82^t` .

d

Als `t` oneindig groot wordt, dan wordt `0,82^t ~~ 0` .

Opgave 5
a

`50 +50 *1,05 =102,50` , dus € 102,50.
En drie maanden na je verjaardag: `50 +50 *1,05 +50 *1,05^2=155,10` , dus € 155,10.

b

Wat er maandelijks bij komt is steeds `1,05` keer zo groot dat wat er de maand ervoor bij kwam.

c

`B(t)=50 *1,05^t` met `t=0 ,1 ,2 ,...`

d

`S(23 )=50 * (1 -1,05^24) / (1 -1,05) ≈2225,10` euro.

Opgave 6
a

Je krijgt:

  • `D(t)=0,75 *D(t-1 )+0,32 *L(t-1 )`

  • `L(t)=0,25 *D(t-1 )+0,68 *L(t-1 )`

b

Doen.

c

Gebruik je GR. Ongeveer `56` %.

Opgave 7
a

Voer de formule in je GR in met venster bijvoorbeeld `0 le x le 40` bij `0 le x le 100` .

b

`u(n) = 100*0,6^t + 20*(1-0,6^t)/(1-0,6) = 50 + 50*0,6^t` .

c

Als `t` heel groot wordt, wordt `0,6^t ~~ 0` . Dus `u(t)` wordt uiteindelijk ongeveer `50` .

Opgave 8
a

Neem `n` in maanden. De rente is `5` % per jaar, dat is `0,41` % per maand. Dus `S_n=1,0041 *S_(n-1 )-2500` met `S_0 =500000` .

b

Gebruik je GR. Het saldo neemt langzaam af.

c

Na `419` maanden heb je nog € 250,27 over en kun je dus geen `2500` euro meer opnemen. Dat is meer dan `34` jaar.

d

`S_n=500000 *1,0041^n-(2500 *1,0041^ (n-1) +2500 *1,0041^ (n-2) +...+2500 )=`
`= 500000 *1,0041^n-2500 * (1 -1,0041^n) / (1 -1,0041) ≈609756 -109756 *1,0041^n` .

Opgave 9
a

`K(t)=1,05 *K(t-1 )` met `K(0 )=2000` .

b

`K(t)=2000 *1,05^t` .

c

Na `15` jaar.

Opgave 10
a

De toename is recht evenredig met het temperatuurverschil. Dus: `T(t+1 )-T(t)=c*(20 -T(t))` .

b

Na `26` minuten is het verschil minder dan `1` °C.

c

De grenswaarde vind je als `T(t+1 )≈T(t)` , dus als (zie a): `20 -T(t)≈0` . Dit betekent `T(t)=20` als grenswaarde.

Opgave 11
a

Een stijging van `90` % betekent een groeifactor van `1,90` . Dus `A(t)=1,90 *A(t-1 )` met `A(0 )=3000` .

b

De groeifactor is groter dan `1` . De groei blijft steeds toenemen.

c

Gebruik je GR.

d

Uiteindelijk zal men op `47500` abonnees uitkomen.

Opgave 12
a

Neem `n` in maanden. `6` % per jaar betekent een groeifactor van ongeveer `1,0049` per maand. Dus `S_t=1,0049 *S_t-1 -1500` met `S_0 =1000000` .

b

Nee, de rij blijft groeien.

c

`S_t≈1308163,21 *1,0049^t-308163,21` . (Afhankelijk van afronding.)

Opgave 13
a

Ja, de toenames worden kleiner naarmate `N_t` groter wordt.

b

`ΔN_t=N_(t+1) -N_t=c*(5000 -N_t)` , geeft `N_(t+1) =5000 c+(1 -c)*N_t` .

c

Gegeven is nu: `N_0 =1000` en `N_1 =1600` . Invullen in de recursieformule geeft: `1600 =5000 c+(1 -c)*1000` , dus `4000 c=600` . Dan is `c=0 ,15` .

d

Maak een tabel bij de differentievergelijking en bekijk de groei per jaar. Je ziet dat er vanaf het begin ieder jaar er minder meervallen bijkomen.

verder | terug