Rijen > Discrete dynamische modellen
123456Discrete dynamische modellen

Voorbeeld 1

Staatsbosbeheer heeft op een bepaald perceel waarop ongeveer `6000` bomen van een bepaalde soort kunnen staan. Dit perceel is bedoeld als productiebos: na een aantal jaren zijn de eerste bomen groot genoeg om te kunnen worden gekapt. Om een stabiele jaarlijkse opbrengst te hebben wordt er jaarlijks maar `18` % van de bomen gekapt en worden er `1000` aangeplant. Het eerste jaar zijn er `5000` bomen geplant.
Stel een dynamisch model op voor het aantal bomen op dit perceel en breng het verloop ervan in beeld.

> antwoord

Noem het aantal bomen `B` , dan is:

  • `B(t)=0,82 *B(t-1 )+1000`

  • `B(0 )=5000`

Met Excel of met je GR maak je hierbij snel een tabel.

Je kunt hierbij ook directe formule opstellen door de recursie uit te schijven:
`B(t)=5000 *0,82^t+1000 *0,82^ (t-1) +1000 *0,82^ (t-2) +... +1000` .
Met de somformule voor een meetkundige rij: `B(t)=5555 5/9-555 5/9*0,82^t` .
Uiteindelijk zullen er jaarlijks ongeveer `5556` bomen op dit perceel staan.

Opgave 3

Bekijk in de Theorie wat een lineaire differentievergelijking is.
Stel je voor dat je bij een bank een rente van `12` % per jaar kunt krijgen. Je spaart € 1500,00 per jaar en je bent gestart op 1 januari 2000.

a

Stel een lineaire differentievergelijking op voor `K(t)` , het kapitaal aan het begin van het `t` -de jaar.

b

Maak een tijdgrafiek bij de rij met saldi. Wat gebeurt er met het saldo als `t` toeneemt?

c

Op welk tijdstip is het saldo meer dan € 20000,00?

Opgave 4

In Voorbeeld 1 tref je een model aan voor het kappen en aanplanten van bos.

a

Leg uit hoe de lineaire differentievergelijking in dit voorbeeld uit de gegevens kan worden afgeleid.

b

Maak zelf een tabel van het aantal bomen met je grafische rekenmachine en bepaal de grenswaarde voor het aantal bomen.

c

Laat zien hoe je met behulp van de somformule voor een meetkundige rij de directe formule voor `B(t)` af kunt leiden.

d

Leg uit hoe je de grenswaarde van `5556` bomen uit de directe formule kunt afleiden.

verder | terug