Rijen > Discrete dynamische modellen
123456Discrete dynamische modellen

Uitleg

Je hebt op 1 januari 2016 een saldo van € 1240,00. Je besluit dat geld op een spaarrekening te zetten. Verder maak je aan het begin van elke maand € 50,00 euro naar die spaarrekening over, te beginnen op 1 februari 2016. Je krijgt aan het eind van elke maand 0,5% rente over het saldo van dat moment. Je haalt voorlopig geen geld van deze spaarrekening en je doet ook geen andere stortingen.

Een recursieformule hierbij is:
`K(t)=K(t-1)*1,005 +50` met `K(0)=1240` .
Verder geldt: K(t) is het saldo in euro op 1 januari van de maand en `t=0` op 1 januari 2016.

Hierbij kun je een werkblad: spaarkapitaal maken.

Het maken van een directe formule doe je zo:

  • op `t=0` is: `K(0)=1240` ;

  • op `t=1` is: `K(1)=1240 *1,005 +50` ;

  • op `t=2` is: `K(2)=1240 *1,005^2+50 *1,005 +50` ;

  • op `t=3` is: `K(3)=1240 *1,005^3+50 *1,005^2+50 *1,005 +50`

`t` maanden: `K(t)=1240 *1,005^t+50 *1,005^ (t-1) +50 *1,005^ (t-2) +... +50` .
Met de somformule voor een meetkundige rij kun je dit nog korter schrijven.

Opgave 1

In de uitleg zie je een voorbeeld van een spaarrekening.

a

Waarom heeft het weinig zin om te vragen naar het saldo op bijvoorbeeld 16 of 18 januari 2016?

b

Vanuit de recursieformule wordt een directe formule afgeleid. Schrijf die formule korter met behulp van de somformule voor een meetkundige rij.

Opgave 2

Een bosbouwer verkoopt hout van bomen die hij zelf aanplant. Stel je voor dat hij op een bepaald stuk bos ongeveer `5000` bomen heeft geplant. Na een aantal jaren zijn de eerste bomen groot genoeg om te kunnen worden gekapt. Maar om ook daarna elk jaar opbrengst van dit perceel te hebben, zal hij een groot deel van de bomen moeten laten staan en nieuwe bomen aanplanten.
Hij besluit elk jaar `15` % van de bomen te kappen en dan weer `1000` bomen aan te planten. 

a

Onderzoek hoe het aantal bomen dat er jaarlijks op dit perceel staat, gaat verlopen. Maak daarvan een grafiek.

b

Zal het aantal bomen de `7000` gaan overstijgen, denk je?

verder | terug