Rijen

Opgave 1

Stel bij deze rijen zowel een mogelijke directe formule als een mogelijke recursieformule op.

a

$7, 14, 28, 56, 112, ...$

b

$5, 8, 11, 14, 17, ...$

Opgave 2

Bekijk de rijen uit de vorige opgave nog eens.

a

Welke van beide rijen zou een rekenkundige rij kunnen zijn? Licht je antwoord toe.

b

Bereken van de rekenkundige rij bedoeld in a de som van de eerste $100$ termen.

c

Bekijk nu de andere rij. Waarom zou dat een meetkundige rij kunnen zijn? Motiveer weer je antwoord.

d

Bereken van de meetkundige rij bedoeld in c de som van de eerste $100$ termen.

Opgave 3

Kees betaalt elk jaar op 1 januari premie voor een inboedelverzekering. De maatschappij waarbij hij verzekerd is belegt dat geld. Gemiddeld maken ze daarmee per jaar $9$ % winst.
Na $16$ jaar te hebben betaald krijgt Kees op 2 januari een schadegeval van € 3500, dat door de polis wordt gedekt. De verzekeringsmaatschappij betaalt hem dus uit.

Heeft de maatschappij nu winst of verlies geleden op de verzekering van Kees?
Geef een duidelijke toelichting.

Opgave 4

Een gepensioneerde heeft een kapitaal $K$ op de bank dat uitstaat tegen $7,2$ % rente per jaar. De bank schrijft elke laatste dag van de maand rente over het dan aanwezige saldo bij. Op elke eerste dag van de maand neemt deze gepensioneerde een bedrag $O$ op, de eerste opname vindt één maand na storting van het beginkapitaal plaats.

a

Toon aan dat het saldo na de $n$ de opname is:
$S_{n} = {1,0058}^{n} \cdot K - ({1,0058}^{n - 1} + {1,0058}^{n - 2} + \cdot \cdot \cdot + 1,0058 + 1) \cdot O$

Neem nu aan dat $K = 100000$ en $O = 2000$ , beide in euro.

b

Hoe groot is het saldo na $12$ opnamen?

c

Na hoeveel maanden is het kapitaal op deze manier "op" ? Leg ook uit waarom er aanhalingstekens zijn gebruikt.

Opgave 5

Een A4-tje is een vel papier van (afgerond) $297$ mm bij $210$ mm.

a

Ga na dat de lengte en de breedte zich verhouden als $\sqrt{2} : 1$ (bij goede benadering).

Twee A4'tjes met de lange zijden tegen elkaar vormen een vel A3.

b

Ga na dat de lengte en de breedte van een A3 zich ook verhouden als $\sqrt{2} : 1$ (bij goede benadering).

c

Ga na: als je een rechthoek met breedte $b$ en lengte $b \sqrt{2}$ in twee gelijke helften verdeelt door een lijn evenwijdig met de korte zijden, verhouden de lengte en de breedte van de twee helften zich weer als $\sqrt{2} : 1$ .

Het standaardvel A0 is (afgerond) $1189$ mm bij $841$ mm. Halveren geeft A1; nog drie keer halveren geeft A4.

d

Ga na dat de oppervlakte van zo'n vel A0 praktisch `1` m² is.

e

Laat $l_{n}$ de lengte in m zijn van A $n$ . Stel een recursieformule en een directe formule op voor de rij $l_{0}, l_{1}, l_{2}, ...$

f

Doe hetzelfde voor de rij der oppervlakten van A $n$ (kies zelf namen en eenheden).

g

Bereken nauwkeurig de lengte en breedte van een vel A0 uit de gegevens: de oppervlakte is $1$ m² en lengte en breedte verhouden zich als $\sqrt{2} : 1$ .

Opgave 6

Een gasfles is gevuld met een hoeveelheid gas onder druk. De fles loopt langzaam leeg door een lekkende afsluiter. Het verlies per uur is recht evenredig met de druk in de fles, dus ook met de hoeveelheid gas in de fles.
Stel per uur is het verlies $4$ % van de aan het begin van het uur aanwezige hoeveelheid gas. Aan het begin is de hoeveelheid gas $100$ liter, na $1$ uur is dus $0,04 \cdot 100$ liter ontsnapt, in het tweede uur ontsnapt $0,04 \cdot (100 - 0,04 \cdot 100)$ liter.

a

De hoeveelheden nog aanwezig gas na $0$ , $1$ , $2$ , ... uur vormen een meetkundige rij. Met welke reden? Stel een directe formule voor die rij op.

b

Hoeveel ontsnapt dus in het $n$ -de uur?

c

Zowel uit het antwoord bij a als uit dat bij b kun je een formule halen voor de hoeveelheid gas die in de eerste $n$ uur ontsnapt. Ga na of je hetzelfde krijgt.

Opgave 7

Bij de geboorte van zijn eerste kleinzoon stopt opa € 50 in een potje. Bij de eerste verjaardag doet hij daar € 100 bij, bij de tweede verjaardag € 150, enzovoort, telkens € 50 meer. Hij doet dat voor het laatst op de zestiende verjaardag, en geeft dan meteen het hele bedrag aan zijn kleinzoon.

a

Hoe groot is dat bedrag?

Bij de geboorte van haar eerste kleindochter pakt oma het anders aan. Zij stort € 350 op een spaarrekening die $3$ % rente per jaar geeft, en herhaalt dit jaarlijks, voor het laatst op de zestiende verjaardag.

b

Hoe groot is het bedrag op de spaarrekening op de dag na de zestiende verjaardag? (Je hoeft er geen rekening mee te houden dat de bank de rente op centen afrondt).

Bij de geboorte van die kleindochter pakt de andere oma het nog anders aan. Zij werkt met dezelfde bedragen als de opa, maar stort ze op een spaarrekening die $3$ % rente per jaar geeft.

c

Hoe groot is het bedrag op de spaarrekening op de zestiende verjaardag?

Opgave 8

Pas gezette koffie heeft een temperatuur van zo’n 80°C. Schenk je deze koffie in een kopje en zet je dat in de kamer dan wordt de temperatuur lager totdat hij de kamertemperatuur ( $20$ °C) benadert.
De daling van de temperatuur per minuut is recht evenredig met het temperatuurverschil met de omgeving.

a

Leg uit, dat hieruit deze differentievergelijking is af te leiden: $T_{t + 1} = T_{t} + c \cdot (T_{t} - 20)$ , waarin $t$ het aantal minuten voorstelt na het inschenken.

Neem aan dat $c = - 0,05$ .

b

Maak een grafiek van de rij $T_{t}$ . Welke grenswaarde zal de rij $T_{t}$ bereiken?

c

Laat zien hoe de grenswaarde uit de gegeven recursieformule is af te leiden.

d

Bepaal na hoeveel minuten de temperatuur van de koffie minder dan `1` °C verschilt van de kamertemperatuur.

Testen