Discrete dynamische modellen > Dynamische modellenVerwerken
Op 1 januari 2015 heb je een saldo van € 1240,00. Je zet dat geld op een spaarrekening. Daarnaast maak je aan het begin van elke maand € 50,00 naar die spaarrekening over, te beginnen op 1 februari 2015. Aan het eind van elke maand krijg je `0,5` % rente over het saldo van dat moment. Je haalt geen geld van deze spaarrekening en doet ook geen andere stortingen.
Bereken het saldo op 1 april 2015.
Leg uit dat je het saldo `K` van je bankrekening `t` maanden na 1 januari 2015 kunt berekenen door `K(t + 1)=K(t)*1,005+50` met `K(0) = 1240` .
Bereken het saldo op 1 juli 2015.
Staatsbosbeheer heeft een perceel waarop ongeveer `6000` bomen van een bepaalde soort kunnen staan. Dit perceel is bedoeld als productiebos: na een aantal jaar zijn de eerste bomen groot genoeg om te kunnen worden gekapt. Om een stabiele jaarlijkse opbrengst te hebben, kapt Staatsbosbeheer jaarlijks `18` % van de bomen en plant `1000` bomen aan. Het eerste jaar zijn er `5000` bomen geplant.
Stel een dynamisch model op voor het aantal bomen op dit perceel.
Maak een tabel van het verloop van het aantal bomen van de eerste zes jaar.
Bepaal de grenswaarde van het aantal bomen.
Je wint op zeker moment € 5000 met een prijsvraag. Je zet dit geld op 1 januari 2016 vast op een rekening met `2,4` % rente per jaar. Daarnaast stort je jaarlijks € 200 op deze rekening. Het saldo `S` hangt af van de tijd `t` in jaar vanaf `t = 0` op 1 januari 2016. Hier is sprake van een discreet dynamisch model.
Stel een passende recursieformule op.
Stel hierbij een directe formule op. Licht je formule toe.
Bereken met behulp van de recursieformule en de grafische rekenmachine na hoeveel jaar je meer dan € 10000 hebt gespaard op deze rekening. Controleer je antwoord met de directe formule.
In 2005 leefden er in een natuurgebied `5000` konijnen. Hun aantal is in de jaren daarna telkens met `5` % toegenomen.
Ontwerp een dynamisch groeimodel voor het aantal konijnen `K` waarin `t` het aantal jaar na 2005 is.
Plot met de grafische rekenmachine een grafiek van de groei van het aantal konijnen in de loop van de tijd. Van wat voor soort groei is er sprake?
Bereken na hoeveel jaar er voor het eerst meer dan `15000` konijnen zijn.
Deze groei van het aantal konijnen kan niet onbeperkt doorgaan. In dit natuurgebied is slechts plaats voor een beperkt aantal konijnen. Een onderzoeker heeft een aangepast groeimodel opgesteld. Daarin is `K(t + 1) = c*K(t)(8000 - K(t))` , waarin `K(0) = 5000` . Dit model blijkt in 2006 precies hetzelfde geschatte aantal konijnen op te leveren als het model dat je bij a hebt ontworpen en ook in de daarop volgende jaren redelijk bij dat model te passen.
Bereken de waarde van `c` .
Maak voor dit aangepaste groeimodel een tabel van het aantal konijnen in de loop van de tijd.
Als je een kop koffie uit een koffiezetter haalt, dan is de koffie meestal gloeiend
heet. Neem aan dat de koffie
`90`
°C is.
Breng je die koffie in een kamer met een binnentemperatuur van
`20`
°C , dan koelt hij af. De temperatuurafname van de koffie is recht evenredig met
het temperatuurverschil met de omgeving.
Gebruik voor de tijd (min) de variabele
`t`
en voor de temperatuur van de koffie (°C) de variabele
`T`
. Neem om te beginnen een stapgrootte van
`Δt=1`
minuut.
Stel een passende modelformule op; `c` is de evenredigheidsconstante.
Neem `c=0,1` .
Maak voor de eerste vijf minuten een tabel van de temperatuur van de koffie.
Bereken na hoeveel minuten de temperatuur van de koffie is gezakt tot onder de `50` °C.
In een gebied worden elk jaar bomen gekapt en geplant. Voor het aantal bomen `B` na `t` jaar geldt het groeimodel:
`B(t)=(1-c)*B(t-1)+6000c` en `B(0)=2000`
Na een jaar zijn er in het gebied `2320` bomen. Bereken `c` .
Bereken hoeveel bomen er elk jaar worden geplant.
De boswachter beweert dat de toename van het aantal bomen per jaar recht evenredig
is met het verschil tussen het aantal bomen en het maximaal aantal bomen dat in het
gebied kan staan.
Toon aan dat hij gelijk heeft.
Stel een directe formule op voor `B(t)` .