Discrete dynamische modellen

Discrete dynamische modellen > Dynamische modellen

123456Dynamische modellen

Voorbeeld 1

In een zwembad is op zeker moment de chloorconcentratie `1` liter/m³. Dat is te hoog en dus wordt het water ververst. Elk uur wordt `60` m³ water vervangen door `60` m³ schoon water. Er zit in totaal `1000` m³ water in het zwembad.
Bereken na hoeveel uur de chloorconcentratie is gehalveerd.

> antwoord

Noem de chloorconcentratie `C(t)` waarin `t` de tijd in uren is en `C` in L/m³. Ga ervan uit dat het schone water zich onmiddellijk met al het badwater vermengt, zodat `C(t)` in het hele zwembad steeds op een bepaald tijdstip hetzelfde is.
Elk uur wordt de chloorconcentratie met `Delta C(t) = 0,060*C(t)` verminderd.

Dan geldt de modelvergelijking: `C(t+1) = C(t) - 0,060*C(t) = 0,940*C(t)`

De chloorconcentratie op `t=0` (als het verversen van het water begint) is `C(0)` .

Voer deze formule in op de grafische rekenmachine. Uit de grafiek of de tabel blijkt dat de halveringstijd ongeveer `11,5` uur is.

Zie voor een uitwerking in Excel het bestand Modelzwembad.

Opgave 3

Voorbeeld 1 beschrijft hoe het water van een groot zwembad wordt ververst omdat de chloorconcentratie te hoog is. Hier dient een discreet dynamisch model als benadering van het voortdurende verversingsproces (uitstromen van vuil water en instromen van schoon water).

Waarom is dit in werkelijkheid geen discreet model?

Stel dat je om het uur naar het verversingsproces kijkt. Leg uit waarom er het eerste uur `60` liter chloor verdwijnt. Verklaar waarom er het tweede uur `56,4` liter chloor verdwijnt.

Leg uit waarom `ΔC(t)=text(-)0,060 *C(t)` .

Welke directe formule hoort bij `C(t)` ?

Je kunt op het Excel-werkblad de chloorconcentratie aanpassen.

Wat gebeurt er als de concentratie twee keer zo groot wordt?

Opgave 4

Als licht door een bepaald materiaal zoals een glasplaat gaat, neemt de intensiteit ervan voortdurend af. Die afname is recht evenredig met de dikte van de gepasseerde laag materiaal. Noem de intensiteit van het licht `I(d)` waarin `d` de dikte van de gepasseerde laag materiaal in meter is. Bekijk eerst wat er gebeurt in stappen van een meter.

Laat zien dat dan geldt: `I(d+1 )=I(d)-k*I(d)` , waarin `k` een evenredigheidsconstante is die afhangt van het materiaal.

De tijd speelt hier schijnbaar geen rol, toch is dit een dynamisch model. Licht dit toe.

Neem aan dat `k=0,2` en `I(0)=100` . Bereken `I(1)` , `I(2)` , `I(3)` , `I(4)` en `I(5)` .

Bereken vanaf welke dikte niet meer dan `1` % van het licht doordringt.

verder | terug