Discrete dynamische modellen > WebgrafiekenAntwoorden van de opgaven
Hierbij hoort de recursieve formule `B(t) = 0,85B(t-1) + 1000` , met `B(0) = 3000` .
Je begint op de horizontale as met `x = B(0) = 3000` , dan ga je recht omhoog naar de grafiek van `y = 0,85x + 1000` , de bijbehorende `y` -waarde is `B(1)` . Vervolgens maak je van die `y` -waarde een `x` -waarde door horizontaal naar de lijn `y = x` te lopen. Bij deze `x` -waarde (dus bij `B(1)` ) hoort weer een `y` -waarde op de lijn `y = 0,85x + 1000` en dat in `B(2)` . Van deze `y` -waarde maak je weer een `x` -waarde, etc.
Zie de
Voer in: `u(n)=0,85u(n-1)+1000` en `u(n text(Min))={3000}` .
Venster: `[0, 10000]xx[0, 10000]` .
Met behulp van de webgrafiek of de tabel vind je dat bij `t=25` meer dan `6600` bomen worden gehaald.
|
`x` |
`=` |
`0,85x + 1000` |
|
|
`0,15x` |
`=` |
`1000` |
|
|
`x` |
`=` |
`1000/(0,15) = 6666 2/3` |
Voer in: `u(n)=0,85u(n-1)+1000` en `u(n text(Min))={8000}` .
Venster: `[6000, 9000]xx[6000, 9000]` .
Er is sprake van een convergente rij.
Webgrafiek of tabel: vanaf `t = 9` .
Er is geen sprake van convergentie. De rij divergeert. Dit blijkt ook uit de recursieformule.
Het dekpunt is de `x` -waarde die voldoet aan `x = 1,2x + 3` , dus er is inderdaad een dekpunt. Maar omdat de rij er vandaan divergeert, is er geen grenswaarde.
`48` °C
Bekijk de webgrafiek of de tabel.
Na `20` minuten is de temperatuur onder de `30` °C.
De directe formule is `T_(t) = 80 * 0,9^t + 20` en `lim_(t rarr oo) T_(t) = 20` .
`S(10) ~~ 8276,87` euro.
Gebruik de webgrafiek of tabel.
Na `29` maanden is het saldo voor het eerst onder de € 5000,00.
De directe formule is `S(t) = 66666 2/3 - 56666 2/3 * 1,003^t` en `lim_(t rarr oo) S(t) = text(-)oo` .
`S(t) = 1,032 * S(t-1) + 250` met `S(0)=5000` .
Voer in: `u(n)=1,032u(n-1)+250` en `u(ntext(Min))={5000}` .
Venster: `[0, 10000]xx[0, 10000]` .
De rij `S(t)` gaat niet naar een bepaalde grenswaarde toe. De waarden van `S(t)` worden steeds groter, ze divergeren.
Het dekpunt is de `x` -waarde die voldoet aan `x = 1,032x + 250` , dus er is inderdaad een dekpunt. Maar omdat de rij er vandaan divergeert, is er geen grenswaarde.
`u=500 - 0,8u` geeft `u=277 7/9` .
Het dekpunt is `277 7/9` .
De somformule van een meetkundige rij geeft:
|
`u(n)` |
`=` |
`100 * (text(-)0,8)^(n) + 500 * (text(-)0,8)^(n-1) + ... + 1)` |
|
|
`` |
`=` |
`100*(text(-)0,8)^(n)+500*(1-(text(-)0,8)^(n))/(1-(text(-)0,8))` |
|
|
`` |
`=` |
`100*(text(-)0,8)^(n)+277 7/9 - 277 7/9*(text(-)0,8)^(n)` |
|
|
`` |
`=` |
`277 7/9-177 7/9*(text(-)0,8)^(n)` |
Voer in: `u(n)=450-0,91u(n-1)` en `u(ntext(Min))={200}`
Venster: `[0, 50]xx[0, 400]`
De termen van de rij liggen afwisselend onder en boven de grenswaarde dat bij het dekpunt hoort.
`u=450 - 0,91u` geeft `u~~235,60` .
Het dekpunt is ongeveer `235,60` .
Uit de webgrafiek blijkt dat je naar een snijpunt gaat. De rij is daarom convergent.
`x = 0,6x+14` geeft `x=35` .
Het dekpunt is `35` .
Omdat de rij convergent is, is de grenswaarde gelijk aan het dekpunt `35` .
Het dekpunt is 12,5.
Nee, de rij is divergent.
Maak eventueel met de grafische rekenmachine een tijd- of webgrafiek.
`H_(t) = H_(t-1) - 0,15*H_(t-1) = 0,85H_(t - 1)` met `H(0) = 500` .
Voer in: `u(n)=0,85u(eta-1)` en `u(n text(Min))={500}` .
Venster: `[0, 600]xx[0, 600]` .
Na `25` dagen is de hoeveelheid minder dan `10` liter.
De webgrafiek convergeert naar een snijpunt.
`H_(t) = 500*0,85^t`
Hier is sprake van exponentieel verval.
`S(t) = 100 + 1,004S(t-1)` met `S(0) = 100` .
Het saldo neemt steeds meer toe, er komt alleen geld bij.
`S(t)=100/(1-1,004)+(100-100/(1-1,004))*1,004^t=text(-)25000+25100*1,004^t`
Het dekpunt is `text(-)25000` , maar `lim_(t rarr oo) S(t) = oo` .
`21` °C
Voer in: `u(n)=u(n-1)+0,1(21-u(n-1))` en `u(ntext(Min))={6}` .
Venster: `[0, 50]xx[0, 25]` .
De rij moet convergent zijn, omdat de melk opwarmt tot de kamertemperatuur.
In de tijdgrafiek zie je dat de waarden naar `21` gaan.
Dus na `11` minuten.
`T=T+0,1*(21-T)` geeft `T=21` .
De directe formule is: `T(t) = 21 - 15*0,9^t` en `lim_(t rarr oo) T(t) = 21` .
Voor het maken van een webgrafiek moet alleen `N(t-1)` een invoerwaarde voor `N(t)` zijn, maar hier zijn `N(t-1)` en `N(t-2)` de invoerwaarden voor het berekenen van `N(t)` . Het maken van een webgrafiek is daarom niet mogelijk.
`W(t) = 0,95*W(t-1) + 20` met `W(0) = 500` mld.
Voer in: `u(n)=0,95u(n-1)+20` en `u(ntext(Min))={500}` .
Venster: `[0, 600]xx[0, 600]` .
De webgrafiek convergeert naar het snijpunt `(400, 400)` .
Uit `W = 0,95W+20` volgt `W=400` , dus het dekpunt is `400` .
`400`
De directe formule is `W(t) = 100 * 0,95^t + 400` en `lim_(t rarr oo) W(t) = 400` .
Omdat het dekpunt `2a` is, moet gelden:
| `2a` | `=` | `a*2a+b` | |
| `b` | `=` | `2a-2a^2` |
| `u(1)` | `=` | `a*u(0)+b` | |
| `u(1)` | `=` | `a*a+2a-2a^2=0,5` | |
| `text(-)a^2+2a-0,5` | `=` | `0` | |
| `a=1-1/2sqrt(2)~~0,29` | `vv` | `a=1+1/2sqrt(2)~~1,71` |
De rij is convergent, dus moet gelden `text(-)1 < a < 1` .
Alleen `a=1-1/2sqrt(2)` voldoet.
| `b` | `=` | `2a-2a^2` | |
| `` | `=` | `text(-)1+sqrt(2)` |
Gebruik de GR.
De rij nadert de waarde `1315,...`
Doen. `H = 500 + 0,62H` oplossen geeft `H = 500/(0,38) = 25000/19 = 1315 15/19` .
Nee.
`H(t) = 1315 15/19 - 1215 15/19 * 0,62^t` en `lim_(t rarr oo) H(t) = 1315 15/19` .
`Delta T_(t) = text(-)c * (T_(t) - 20)`
Doen, de waarden van de rij benaderen de `20` °C.
Doen. Na `80` minuten.
Los op `T = T - 0,05(T - 20)` en je vindt `T = 20` .