Discrete dynamische modellen > Webgrafieken
123456Webgrafieken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Hierbij hoort de recursieve formule `B(t) = 0,85B(t-1) + 1000` , met `B(0) = 3000` .

Je begint op de horizontale as met `x = B(0) = 3000` , dan ga je recht omhoog naar de grafiek van `y = 0,85x + 1000` , de bijbehorende `y` -waarde is `B(1)` . Vervolgens maak je van die `y` -waarde een `x` -waarde door horizontaal naar de lijn `y = x` te lopen. Bij deze `x` -waarde (dus bij `B(1)` ) hoort weer een `y` -waarde op de lijn `y = 0,85x + 1000` en dat in `B(2)` . Van deze `y` -waarde maak je weer een `x` -waarde, etc.

b

Zie de uitleg.

Opgave 1
a
b

na 25 jaar

c

`x`

`=`

`0,85x + 1000`

`0,15x`

`=`

`1000`

`x`

`=`

`1000/(0,15) = 6666 2/3`

Opgave 2
a

Er is sprake van een convergente rij.

b

vanaf `t = 9`

Opgave 3
a

Er is geen sprake van convergentie. De rij divergeert. Dit blijkt ook uit de recursieve formule.

b

Het dekpunt is de `x` -waarde die voldoet aan `x = 1,2x + 3` , dus er is inderdaad een dekpunt. Maar omdat de rij er vandaan divergeert, is er geen grenswaarde.

Opgave 4
a

48 °C 

b

na 20 minuten

c

De directe formule is `T_(t) = 80 * 0,9^t + 20` en `lim_(t rarr oo) T_(t) = 20` .

Opgave 5
a

`W(t) = 0,95*W(t-1) + 20` met `W(0) = 500` mld

b

De webgrafiek convergeert naar het snijpunt `(400, 400)` .

Het dekpunt is `400` .

c

400

d

De directe formule is `W(t) = 100 * 0,95^t + 400` en `lim_(t rarr oo) W(t) = 400` .

Opgave 6
a

€ 8276,87

b

na 29 maanden

c

De directe formule is `S(t) = 66666 2/3 - 56666 2/3 * 1,003^t` en `lim_(t rarr oo) S(t) = text(-)oo` .

Opgave 7
a

`S(t) = 1,032 * S(t-1) + 250` met `S(0)=5000`

b
c

De rij `S(t)` gaat niet naar een bepaalde grenswaarde toe. De waarden van `S(t)` worden steeds groter, ze divergeren.

d

Het dekpunt is de `x` -waarde die voldoet aan `x = 1,032x + 250` , dus er is inderdaad een dekpunt. Maar omdat de rij er vandaan divergeert, is er geen grenswaarde.

Opgave 8
a

`277 7/9`

b

De directe formule is `u(n) = 277 7/9 - 177 7/9 * (text(-)0,8)^n` en `lim_(n rarr oo) u(n) = 277 7/9` .

Opgave 9
a
b

De termen van de rij liggen afwisselend onder en boven de grenswaarde dat bij het dekpunt hoort.

c

ongeveer 235,60

Opgave 10
a

Uit de webgrafiek blijkt dat je naar een snijpunt gaat. De rij is daarom convergent.

b

Het dekpunt is 35.

c

Omdat de rij convergent is, is de grenswaarde gelijk aan het dekpunt 35.

Opgave 11
a

Het dekpunt is 12,5.

b

Nee, de rij is divergent.

Opgave 12
a

`H_(t) = 0,85H_(t - 1)` met `H(0) = 500`

b

na 25 dagen

c

De webgrafiek convergeert naar een snijpunt.

d

`H_(t) = 500*0,85^t`

e

Hier is sprake van exponentieel verval.

Opgave 13
a

`S(t) = 100 + 1,004S(t-1)` met `S(0) = 100`

b

Het saldo neemt steeds meer toe, er komt alleen geld bij.

c

De directe formule is: `S(t) = text(-)25000 + 25100 * 1,004^t`

Het dekpunt is `text(-)25000` , maar `lim_(t rarr oo) S(t) = oo` .

Opgave 14
a

21 °C 

b

De rij moet convergent zijn, omdat de melk opwarmt tot de kamertemperatuur.

In de tijdgrafiek zie je dat de waarden naar 21 gaan.

c

na 11 minuten

d
`T` `=` `T+0,1*(21-T)`
`T` `=` `21`

De grenswaarde is 21 °C.

e

De directe formule is: `T(t) = 21 - 15*0,9^t` en `lim_(t rarr oo) T(t) = 21`

Opgave 15

Voor het maken van een webgrafiek moet alleen `N(t-1)` een invoerwaarde voor `N(t)` zijn, maar hier zijn `N(t-1)` en `N(t-2)` de invoerwaarden voor het berekenen van `N(t)` . Het maken van een webgrafiek is daarom niet mogelijk.

Opgave 16

Omdat het dekpunt `2a` is, moet gelden:

`2a` `=` `a*2a+b`
`b` `=` `2a-2a^2`
`u(1)` `=` `a*u(0)+b`
`u(1)` `=` `a*a+2a-2a^2=0,5`
`text(-)a^2+2a-0,5` `=` `0`
`a=1-1/2sqrt(2)~~0,29` `vv` `a=1+1/2sqrt(2)~~1,71`

De rij is convergent, dus moet gelden `text(-)1 < a < 1` .

Alleen `a=1-1/2sqrt(2)` voldoet.

`b` `=` `2a-2a^2`
`` `=` `text(-)1+sqrt(2)`
Opgave 17
a

Doen.

b

De rij nadert de waarde `1315,...`

c

Doen. `H = 500 + 0,62H` oplossen geeft `H = 500/(0,38) = 25000/19 = 1315 15/19` .

d

Nee.

e

`H(t) = 1315 15/19 - 1215 15/19 * 0,62^t` en `lim_(t rarr oo) H(t) = 1315 15/19` .

Opgave 18
a

`Delta T_(t) = text(-)c * (T_(t) - 20)`

b

Doen, de waarden van de rij benaderen de `20` °C.

c

Doen. Na `80` minuten.

d

Los op `T = T - 0,05(T - 20)` en je vindt `T = 20` .

verder | terug