Discrete dynamische modellen

Opgave 9

Gegeven is de rij `u(n)=0,6*u(n-1)+14` met `u(0)=10` .

a

Toon met behulp van de webgrafiek van `u(n)` aan dat deze rij convergent is.

b

Bereken het dekpunt.

c

Hoeveel bedraagt de grenswaarde van de rij?

Opgave 10

Gegeven is de rij `u(n)=50-3*u(n-1)` .

a

Bereken het dekpunt.

b

Is het dekpunt ook een grenswaarde van de rij?

Opgave 11

Er is een hoeveelheid `H_0=500` liter van een giftige stof in het oppervlaktewater terechtgekomen. Deze stof wordt vanzelf afgebroken: er verdwijnt dagelijks zo'n 15% van deze stof.

a

Stel de recursieformule op voor `H_t` , de hoeveelheid giftige stof na `t` dagen.

b

Plot een webgrafiek en bekijk in hoeveel dagen de hoeveelheid minder is geworden dan `10` liter.

c

Hoe kun je aan de webgrafiek zien dat de rij `H_t` convergent is?

d

Stel vanuit de recursieve formule een directe formule op voor de rij `H_t` .

e

Leg uit waarom je dit ook had kunnen doen zonder eerst een recursieformule te maken.

Opgave 12

Boris opent op 1 januari 2015 een spaarrekening waarop hij op de eerste van elke maand € 100,00 stort. Hij krijgt `0,4` % rente per maand.

a

Leid voor het saldo `S(t)` van deze rekening een recursieve formule af. Hierbij is `t` de tijd in maanden.

b

Waarom moet deze rij wel divergent zijn?

c

Bereken het dekpunt van de rij en laat met behulp van een directe formule zien dat dit dekpunt geen grenswaarde van de rij is.

Opgave 13

Een pak melk wordt uit de koelkast gehaald en in een glas geschonken. De toename van de temperatuur per minuut is recht evenredig met het temperatuurverschil met de omgeving.

Voor de temperatuur `T` (°C) na `t` minuten geldt de recursieformule:

`T(t)=T(t-1)+c*(21-T(t-1))` met `T(0)=6`

a

Hoe hoog is de omgevingstemperatuur?

b

Neem aan dat `c=0,1` .

Maak een tijdgrafiek van de rij `T(t)` .
Waarom moet deze rij convergent zijn? Hoe zie je dat aan de tijdgrafiek?

c

Plot de webgrafiek en bepaal na hoeveel minuten de temperatuur van de melk minder dan `5` °C verschilt van de kamertemperatuur.

d

Laat zien hoe de grenswaarde uit de gegeven recursieformule is af te leiden.

e

Laat zien hoe de grenswaarde uit een bijpassende directe formule is af te leiden.

Opgave 14

Waarom kun je voor de recursievergelijking `N(t)=0,8N(t-1)+1,5N(t-2)+35` met `N(0)=4` en `N(1)=8` geen webgrafiek maken?

Verwerken