Discrete dynamische modellen > Webgrafieken
123456Webgrafieken

Uitleg

Van `x = B(0) = 3000` naar `y = B(1)` .

Van `y = B(1)` naar `x = B(1)` .

Van `x = B(1)` naar `y = B(2)` .

Van `y = B(2)` naar `x = B(2)` .

Van `x = B(2)` naar `y = B(3)` .

Van `y = B(3)` naar `x = B(3)` .

Van `x = B(3)` naar `y = B(4)` .

Van `y = B(4)` naar `x = B(4)` .

Van `x = B(4)` naar `y = B(5)` .

Van `y = B(5)` naar `x = B(5)` , etc.

Het bosbouwbedrijf van Someren verkoopt het hout van bomen die het zelf aanplant. Het bedrijf kapt jaarlijks 15% van de bomen en plant er 1000 bij. Neem de tijd `t` in jaar. Het aantal bomen `B` op het perceel hangt van `t` af, neem `B(0) = 3000` . De recursieformule die hier bij hoort is: `B(t) = 0,85B(t-1) + 1000` .

In de figuur zie je de lijnen `y = x` en `y = 0,85x + 1000` en de webgrafiek van `B(t)` . De lijn `y = x` is nodig, omdat de waarden van `B(t)` uitkomsten ( `y` -waarden) zijn die weer worden gebruikt als invoerwaarden ( `x` -waarden). De lijn `y = 0,85x + 1000` is de vertaling van de recursieformule naar een `xy` -assenstelsel.

De webgrafiek convergeert naar het snijpunt `D` van beide lijnen. De `x` -waarde van dit snijpunt is het dekpunt van de rij, het is in dit geval de grenswaarde die de rij `B(t)` benadert. De grenswaarde `x` bereken je door aan te nemen dat voor grote `t` geldt `B(t) ~~ B(t-1) ~~ x` . De recursieformule wordt `x = 0,85x + 1000` en dit levert op `x = 6666 2/3` .

Als een rij niet convergeert, dan is er sprake van divergentie. Tenzij iedere term in de rij een vaste waarde heeft (bijvoorbeeld: `5, 5, 5, 5, ...` ), dan heet de rij stationair.

Dergelijke webgrafieken kun je ook met de grafische rekenmachine maken. Bekijk het practicum Rijen en de GR.

De gewone grafiek van een rij heet vanaf nu de tijdgrafiek van de rij. Vandaar dat in dit hoofdstuk in plaats van de `n` om het nummer van een term van de rij aan te duiden, meestal de `t` wordt gebruikt.

Opgave 1

In de uitleg wordt het verloop van het aantal bomen op een bepaald perceel beschreven.

a

Plot met de grafische rekenmachine de webgrafiek.

b

Bereken na hoeveel jaar er voor het eerst meer dan 6600 bomen staan.

c

Laat zien hoe je het dekpunt van deze rij berekent.

Opgave 2

Bekijk de uitleg. Start nu met 8000 bomen.

a

Plot de webgrafiek van `B(t)` , met als begin `t=8000` . Is er weer sprake van een convergente rij?

b

Het aantal bomen `B(t)` neemt nu af. Bereken vanaf welk jaar er minder dan 7000 bomen zijn.

Opgave 3

Gegeven is de rij `u(n)=1,2*u(n-1)+3` met `u(0)=10` .

a

Plot de webgrafiek. Is er sprake van een convergente rij?

b

Heeft deze rij een dekpunt? En een grenswaarde?

verder | terug