Discrete dynamische modellen > DifferentievergelijkingenVoorbeeld 1
Je verwarmt een bepaalde vloeistof tot
`100`
°C. Als je deze vloeistof in een beker overgiet, begint hij af te koelen. Voor de
temperatuur
`T(t)`
met
`T`
in °C en
`t`
in minuten geldt
`T(t) = 0,9 * T(t-1) + 2`
.
Laat zien dat deze differentievergelijking een exponentieel vervalproces beschrijft
door de bijbehorende directe formule op te stellen. Hoe groot is de groeifactor en
hoe groot is de groeivoet?
Bij deze lineaire differentievergelijking van de eerste orde hoort de directe formule:
`T(t) = (100 - 2/(1 - 0,9)) * 0,9^t + 2/(1 - 0,9) = 80 * 0,9^t + 20`
Dit is een exponentiële functie met een groeifactor van
`0,9`
.
De groeivoet
`c`
vind je uit
`c = 0,9 - 1`
. De groeivoet is
`text(-)0,1`
.
Een cultuur bacteriën groeit volgens de differentievergelijking `N(t) = N(t-1) + 0,05*N(t-1)` , waarin `N(t)` het aantal bacteriën na `t` dagen is. Op `t = 0` zijn er `50` bacteriën.
Plot bij deze bacteriegroei een tijdgrafiek.
Toon aan dat de groei van deze bacteriën exponentieel verloopt door een bijpassende directe formule op te stellen.
Leg uit waarom deze rij wel divergent moet zijn.
Een tuinder oogst jaarlijks `40` % van zijn thuja's en plant daarna weer `500` jonge thuja's. Dit jaar heeft hij in totaal ongeveer `1600` thuja's staan.
Stel bij deze situatie een recursieformule op. Is hier sprake van een lineaire differentievergelijking van de eerste orde?
Hoeveel is de groeivoet? En de groeifactor?
Toon de convergentie van deze rij aan door een directe formule op te stellen en de daarbij passende grenswaarde te berekenen.