Discrete dynamische modellen > DifferentievergelijkingenVoorbeeld 2
In een afgesloten gebied wordt van een bepaalde soort snuitkever een populatie van
`20`
uitgezet. Omdat hun leefgebied is begrensd, zal er sprake zijn van geremde exponentiële
groei. Een onderzoeker heeft voor het aantal kevers
`K(t)`
in de loop van de jaren de kwadratische differentievergelijking
`K(t) = 2,5*(1 - (K(t-1))/1000)*K(t-1)`
opgesteld.
Plot een bijbehorende webgrafiek en laat zo zien dat het aantal kevers convergeert.
Laat ook zien dat hier sprake is van een groeivoet die kleiner wordt naarmate de populatie
groeit.
Uit de webgrafiek blijkt de convergentie. `K` nadert de waarde 600.
Noteer de formule als:
|
`K(t)` |
`=` |
`2,5*(1 - (K(t-1))/1000)*K(t-1)` |
|
|
`` |
`=` |
`2,5K(t-1) - ((K(t-1))^2)/400` |
|
|
`` |
`=` |
`K(t-1) + 1,5K(t-1) - ((K(t-1))^2)/400` |
|
|
`` |
`=` |
`K(t-1) + 1,5*(1 - (K(t-1))/600)*K(t-1)` |
De groeivoet is `1,5*(1 - (K(t-1))/600)` en als `K(t-1) rarr 600` , dan `1 - (K(t-1))/600 rarr 0` .
Bekijk de kwadratische differentievergelijking in
Hoe lees je uit de herleide recursieformule de grenswaarde van de geremde groei af?
In de webgrafiek wordt behalve de lijn `y = x` ook een parabool getekend. Welke formule hoort er bij die parabool?
Bereken de dekpunten van de gegeven rij. Zijn ze in overeenstemming met de grenswaarde?
Is het aantal snuitkevers dat aan het begin wordt uitgezet van belang voor de grenswaarde die wordt bereikt?
De groei van een aantal bacteriën
`N(t)`
wordt bij benadering beschreven door de kwadratische differentievergelijking
`N(t) = k*N(t-1)* (400 - N(t-1))`
, waarin
`t`
het aantal dagen na
`t = 0`
is en
`N(0) = 50`
.
Neem eerst
`k = 0,005`
.
Plot bij dit groeimodel een webgrafiek en een tijdgrafiek. Naar welke waarde convergeert het aantal bacteriën?
Herleid de recursieformule tot een vorm waarin je de veranderende groeivoet kunt aflezen. Welke waarde heeft de groeivoet?
Hoe lees je uit de herleide recursieformule de grenswaarde van de geremde groei af?
In de webgrafiek wordt behalve de lijn `y = x` ook een parabool getekend. Welke formule hoort er bij die parabool?
Bereken de dekpunten van de gegeven rij. Zijn ze in overeenstemming met de grenswaarde?
Wat is er aan de hand als je met `200` bacteriën begint?