Discrete dynamische modellen > Differentievergelijkingen
123456Differentievergelijkingen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

De grafiek die exponentiële groei beschrijft. Bij een recursieformule van deze vorm hoort namelijk een directe formule die er uit ziet als een exponentiële functie, zie de uitleg.

b

Er is sprake van ongebreidelde groei, dus groter dan `1` .

Opgave 1
a

Als `t` met `1` toeneemt, dan neemt `N` met een factor `1,2` toe en de beginhoeveelheid is `2000` .

`N(t) = 2000 * 1,2^t`

b

Voer in: `u(n)=1,2u(n-1)` en `u(ntext(Min))={2000}` .

Venster: `[0, 10000]xx[0, 10000]` .

De webgrafiek convergeert niet naar een snijpunt, dus de rij divergeert.

c

Voer in: `u(n)=u(n-1)+0,2(1-(u(n-1))/4000)*u(n-1)` en `u(ntext(Min))={2000}` .

Venster: `[0, 5000]xx[0, 5000]` .

De webgrafiek convergeert naar het snijpunt `(4000, 4000)` .

d

Als `N(t-1) rarr M` dan `(N(t-1))/M rarr 1` .

e

Werk de haakjes weg, dan blijkt dat de recursieformule kwadratisch is.
`N(t) = 1,02*N(t-1) - ((N(t-1))^2)/M`

f

In de evenwichtssituatie is `N(t) = N(t-1) = N` en dan wordt de differentievergelijking:

`N` `=` `N + 0,2 * (1 - N/M) * N`
`0,2 * (1 - N/M) * N` `=` `0`
`1 - N/M` `=` `0`
`N` `=` `M`
Opgave 2
a

Met behulp van een tijd- of webgrafiek kun je zien dat de rij convergeert.

De grenswaarde volgt uit `N = 0,84N + 200` en dit geeft `N = 200/(0,16) = 1250` .

b

Met behulp van een tijd- of webgrafiek kun je zien dat de rij divergeert.

c

Met behulp van een tijd- of webgrafiek kun je zien dat de rij convergeert.

De grenswaarde volgt uit `N = 0,5N(6 - N)` en dit geeft `N = 4` .

Opgave 3
a

`N = aN + b` geeft `(1 - a)N = b` en dit geeft: `N = b/(1 - a)` .

b

Uitschrijven geeft: `N(t) = d*a^t +b*(a^(t-1) + ... + a + 1)` .

Gebruik de somformule voor de meetkundige rij:

`N(t)`

`=`

`d*a^t + b*(1 - a^t)/(1 - a)`

``

`=`

`d*a^t+b/(1-a)-(b*a^t)/(1-a)`

``

`=`

`(d-b/(1-a))*a^t+b/(1-a)`

c

Omdat als `0 lt a lt 1` altijd `lim_(t rarr oo) u(t) = b/(1-a)` .

Opgave 4
a

Voer in: `u(n)=u(n-1)+0,05u(n-1)` en `u(ntext(Min))={50}` .

Venster: `[0, 50]xx[0, 500]` .

b

`N(t) = 50 * 1,05^t`

c

Het aantal bacteriën blijft groeien.

Opgave 5
a

Bijvoorbeeld `N(t) = N(t-1) - 0,4*N(t-1) + 500` met `N(0) = 1600` , waarin `N(t)` het aantal thuja's na `t` jaar voorstelt. Dit is inderdaad een lineaire differentievergelijking van de eerste orde.

b

De groeivoet is `text(-)0,40` en de groeifactor is `0,60` .

c

`N(t) = (1600 - 500/(1 - 0,6)) * 0,6^t + 500/(1 - 0,6) = 350 * 0,6^t + 1250`

De grenswaarde is `1250` .

Opgave 6
a

Aan de factor `1,5*(1 - (K(t-1))/600)` .

Als `K(t-1) rarr 600` , dan `1 - (K(t-1))/600 rarr 0` .

b

`y`

`=`

`2,5*(1 - x/1000)*x`

``

`=`

`2,5x - (x^2)/400`

``

`=`

`2,5x-0,0025x^2`

c

`x`

`=`

`2,5x - 0,0025x^2`

`0,0025x^2 - 1,5x`

`=`

`0`

`x(0,0025x-1,5)`

`=`

`0`

`x`

`=`

`0 vv x=600`

De twee dekpunten zijn `(0, 0)` en `(600, 600)` . Het eerste dekpunt zou worden bereikt als de startpopulatie `0` zou zijn en het tweede dekpunt hoort bij de geschetste situatie.

d

Nee, tenzij je met `0` of met `1000` of meer snuitkevers begint.

Opgave 7
a

Voer in: `u(n)=0,005u(n-1)*(400-u(n-1))` en `u(ntext(Min))={50}`

Venster voor de webgrafiek: `[0, 300]xx[0, 300]`

Venster voor de tijdgrafiek: `[0, 25]xx[0, 300]`

Het aantal bacteriën convergeert naar `200` .

b

`N_t`

`=`

`0,005*N(t-1)*(400-N(t-1))`

``

`=`

`2N(t-1)-0,005(N(t-1))^2`

``

`=`

`N(t-1)+N(t-1)-(N(t-1))^2/200`

``

`=`

`N(t-1)+(1-(N(t-1))/200)*N(t-1)`

De groeivoet is `1` .

c

Uit de factor `(1 - (N(t-1))/200)` . Als `N(t-1) rarr 200` , dan `1 - (N(t-1))/200 rarr 0` .

d

`y = 0,005x*(400 - x) = 2x - 0,005x^2`

e

`x`

`=`

`2x - 0,005x^2`

`0,005x^2 - x`

`=`

`0`

`x(0,005x-1)`

`=`

`0`

`x`

`vv`

`0 vv x=200`

De twee dekpunten zijn `(0, 0)` en `(200, 200)` . Het eerste dekpunt zou worden bereikt als de startpopulatie 0 zou zijn en het tweede dekpunt hoort bij de geschetste situatie.

f

Er is dan van groei geen sprake, dit aantal blijft dan steeds hetzelfde.

Opgave 8
a

`x=0,5x+2` geeft `x=4` .

Het dekpunt is `4` .

Omdat `0 < 0,5 < 1` is er sprake van convergentie. Dit kun je ook zien in de tijd- of webgrafiek.

b

`x=1,08x` geeft `x=0` .

Het dekpunt is `0` .

Omdat `1,08>1` is er sprake van divergentie. Dit kun je ook zien in de tijd- of webgrafiek.

c

`x=5-0,6x` geeft `x=3,125` .

Het dekpunt is `3,125` .

Omdat `text(-)1 < text(-)0,6 < 0` is er sprake van alternerende convergentie. Dit kun je ook zien in de tijd- of webgrafiek.

Opgave 9
a

Bereken het dekpunt door de vergelijking `N = 0,8N + 100` op te lossen. Dit geeft `N = 100/(0,2) = 500` en dit is onafhankelijk van `N(0)` .

b

Voer in:

`u(n)=0,8u(n -1)+100` en `u(n text(Min))={100}` .

`v(n)=0,8v(n -1)+100` en `u(n text(Min))={500}` .

`w(n)=0,8w(n -1)+100` en `u(n text(Min))={900}` .

Venster: `[0, 50]xx[0, 1000]` .

c

Naar `N = 500` .

d

`N(0) = 100` : `N(t) = text(-)400*0,8^t + 500` .
`N(0) = 500` : `N(t) = 500` .
`N(0) = 900` : `N(t) = 400*0,8^t + 500` .

Voor alle drie de formules geldt `lim_(n rarr oo) N(t)=500` .

Opgave 10
a

`y=x+0,25x(1-x/100)=1,25x-0,0025x^2`

b
`x` `=` `x + 0,25 * x * (1 - x/100)`
`0,25*x*(1-x/100)` `=` `0`
`x=0` `vv` `x=100`

De dekpunten zijn `0` en `100` .

c

Voer in: `u(n) = u(n-1) + 0,25 *u(n-1) * (1 - (u(n-1))/100)` en `u(0) = {20}` .

De webgrafiek convergeert naar het snijpunt `(100, 100)` . De rij convergeert.

Opgave 11

Als de startwaarde een dekpunt is, dan is de rij constant.

`x`

`=`

`5x(1-x)+1`

`x`

`=`

`5x-5x^2+1`

`5x^2-4x-1`

`=`

`0`

`x=text(-)0,2 vv x=1` (abc-formule)

Als `N(0)=text(-)0,2 vv N(0)=1` is de rij `N(t)` constant.

Opgave 12
a
`4800` `=` `1,8*4000-a*4000^2`
`a` `=` `0,00015`
b
`A_(t)` `=` `1,8 * A_(t-1) - 0,00015* (A_(t-1))^2`
`` `=` `A_(t-1)+0,8*A_(t-1)-0,00015*(A_(t-1))^2`
`` `=` `A_(t-1)+0,8*(1-(A_(t-1))/(5333 1/3))*A_(t-1)`
c

Zie de formule in het antwoord van b: `5333` herten.

Opgave 13
a

Er moet gelden dat `K_0=K_1=0,2` .

`0,2` `=` `a*0,2(1-0,2)`
`0,2` `=` `0,16a`
`a` `=` `1,25`
b

Er moet gelden dat `K_2=0,2` en `K_1=0,16a` .

`K_2` `=` `0,16a^2(1-0,16a)=0,2`
`text(-)0,0256a^3+0,16a^2-0,2` `=` `0`
`a^3-6,25a^2+7,8125` `=` `0`

Een oplossing voor deze vergelijking is al bekend, namelijk `a=1,25` (zie a).

Ontbind dit in: `(a-1,25)(a^2-5a-6,25)` .

Dus `a=1,25 vv a=(5-sqrt(50))/2 vv a=(5+sqrt(50))/2` .

`a=1,25` voldoet niet, omdat dan de rij constant is.

De andere twee mogelijkheden voldoen wel.

Opgave 14Brandnetels
Brandnetels
a

`(25+15)/25 = 1,6`

b

Voer in: `y=25*1,6^t` of gebruik de recursieformule `u(n)=1,6*u(n-1)` met `u(0)=25` .

Bekijk de tabel.

week 0 1 2 3 4 5
aantal brandnetels 25 40 64 102 164 262
c

`N(t) = N(t-1) + 0,6*(1 - (N(t-1))/225)*N(t-1)` met `N(0)=25` .

Hierin is `N(t)` het aantal brandnetels na `t` weken.

d

Voer in: `u(n)=u(n-1)+0,6*(1-(u(n-1))/225)*u(n-1)` en `u(text(nMin))={25}` .

Bekijk de tabel.

`t` 0 1 2 3 4 5
`N(t)` 25 38 57 83 115 148
Opgave 15
a

`S(t) = 1,0025S(t-1) - 1500` met `S(0) = 10^6` .

b

De rij convergeert niet, maar divergeert, het saldo wordt steeds hoger.

c

`S(t) = 400000 * 1,0025^t + 600000` . Het saldo wordt steeds groter.

d

Maximaal `2500` euro.

Opgave 16
a

`A(t) = 1,90 * A(t-1)` met `A(0) = 3000` .

b

`A(t) = 3000 * 1,90^t`

c

`A = 1,95A - 0,00002A^2` oplossen geeft `A = 0 vv A = 47500` .

d

`47500` abonnees.

verder | terug