Discrete dynamische modellen > Differentievergelijkingen
123456Differentievergelijkingen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

De grafiek die exponentëe groei beschrijft. Bij een recursieve formule van deze vorm hoort namelijk een directe formule die er uit ziet als een exponentële functie, zie de uitleg.

b

Er is sprake van ongebreidelde groei, dus groter dan `1` .

Opgave 1
a

Als `t` met 1 toeneemt, dan neemt `N` met een factor 1,2 toe en de beginhoeveelheid is 2000.

`N(t) = 2000 * 1,2^t`

b
c

De webgrafiek convergeert naar het snijpunt `(4000, 4000)` .

d

Als `N(t-1) rarr M` dan `(N(t-1))/M rarr 1`

e

Werk de haakjes weg, dan blijkt dat de recursieve formule kwadratisch is.
`N(t) = 1,02*N(t-1) - ((N(t-1))^2)/M`

f

In de evenwichtssituatie is `N(t) = N(t-1) = N` en dan wordt de differentievergelijking:

`N` `=` `N + 0,2 * (1 - N/M) * N`
`0,2 * (1 - N/M) * N` `=` `0`
`1 - N/M` `=` `0`
`N` `=` `M`
Opgave 2
a

De rij is convergent met grenswaarde 1250.

b

De rij is divergent.

c

De rij is convergent met grenswaarde 4.

Opgave 3
a

`N = aN + b` geeft `(1 - a)N = b` en dit geeft: `N = b/(1 - a)`

b

Uitschrijven geeft: `N(t) = d*a^t +b*(a^(t-1) + ... + a + 1)`

Gebruik de somformule voor de meetkundige rij:

`N(t)`

`=`

`d*a^t + b*(1 - a^t)/(1 - a)`

``

`=`

`d*a^t+b/(1-a)-(b*a^t)/(1-a)`

``

`=`

`(d-b/(1-a))*a^t+b/(1-a)`

c

Omdat als `0 lt a lt 1` altijd `lim_(t rarr oo) u(t) = b/(1-a)` .

Opgave 4
a
b

`N(t) = 50 * 1,05^t`

c

Het aantal bacteriën blijft groeien.

Opgave 5
a

Bijvoorbeeld `N(t) = N(t-1) - 0,4*N(t-1) + 500` met `N(0) = 1600` , waarin `N(t)` het aantal thuja's na `t` jaar voorstelt. Dit is inderdaad een lineaire differentievergelijking van de eerste orde.

b

De groeivoet is `text(-)0,40` en de groeifactor is `0,60` .

c

`N(t) = (1600 - 500/(1 - 0,6)) * 0,6^t + 500/(1 - 0,6) = 350 * 0,6^t + 1250`

De grenswaarde is `1250` .

Opgave 6
a

Aan de factor `1,5*(1 - (K(t-1))/600)` .

Als `K(t-1) rarr 600` , dan `1 - (K(t-1))/600 rarr 0` .

b

`y = 2,5x-0,0025x^2`

c

De twee dekpunten zijn `(0, 0)` en `(600, 600)` . Het eerste dekpunt zou worden bereikt als de startpopulatie 0 zou zijn en het tweede dekpunt hoort bij de geschetste situatie.

d

Nee, tenzij je met 0 of met 1000 of meer snuitkevers begint.

Opgave 7
a

Het aantal bacteriën convergeert naar 200.

b

`N(t) = N(t-1) + (1 - (N(t-1))/200) * N(t-1)`

De groeivoet is 1.

c

Uit de factor `(1 - (N(t-1))/200)` . Als `N(t-1) rarr 200` , dan `1 - (N(t-1))/200 rarr 0` .

d

`y = 2x - 0,005x^2`

e

De twee dekpunten zijn `(0, 0)` en `(200, 200)` . Het eerste dekpunt zou worden bereikt als de startpopulatie 0 zou zijn en het tweede dekpunt hoort bij de geschetste situatie.

f

Er is dan van groei geen sprake, dit aantal blijft dan steeds hetzelfde.

Opgave 8
a

Het dekpunt `X = 4` , de rij convergeert.

b

Het dekpunt `K = 0` , de rij divergeert.

c

Het dekpunt `N = 3,125` , de rij convergeert alternerend.

Opgave 9
a

Bereken het dekpunt door de vergelijking `N = 0,8N + 100` op te lossen. Dit geeft `N = 100/(0,2) = 500` en dit is onafhankelijk van `N(0)` .

b
c

naar `N = 500`

d

`N(0) = 100` : `N(t) = text(-)400*0,8^t + 500`
`N(0) = 500` : `N(t) = 500`
`N(0) = 900` : `N(t) = 400*0,8^t + 500`

Voor alle drie de formules geldt `lim_(n rarr oo) N(t)=500` .

Opgave 10
a

`1,6`

b
week 0 1 2 3 4 5
aantal brandnetels 25 40 64 102 164 262
c

`N(t) = N(t-1) + 0,6*(1 - (N(t-1))/225)*N(t-1)` met `N(0)=25`

Hierin is `N(t)` het aantal brandnetels na `t` weken.

d
`t` 0 1 2 3 4 5
`N(t)` 25 38 57 83 115 148
Opgave 11
a
`y` `=` `x+0,25x(1-x/100)`
`y` `=` `1,25x-0,0025x^2`
b

0 en 100

c

De webgrafiek convergeert naar het snijpunt `(100, 100)` . De rij convergeert.

Opgave 12

`x=text(-)0,2 vv x=1`

Opgave 13
a
`4800` `=` `1,8*4000-a*4000^2`
`a` `=` `0,00015`
b

`A_t=A_(t-1)+0,8*(1-(A_(t-1))/(5333 1/3))*A_(t-1)`

c

5333 herten

Opgave 14
a

`a=1,25`

b

`a=(5-sqrt(50))/2 vv a=(5+sqrt(50))/2`

Opgave 15
a

Zijn maandrente is ongeveer `0,25` %. Dus het saldo bedraagt `S(t) = 1,0025S(t-1) - 1500` met `S(0) = 10^6` .

b

`S = 1,0025S - 1500` geeft `S = 1500/(0,0025) = 600000` . De rij convergeert echter niet, maar divergeert, het saldo wordt steeds hoger.

c

`S(t) = (1000000 - 1500/(0,0025)) * 1,0025^t + 1500/(0,0025) = 400000 * 1,0025^t + 600000` . Het saldo wordt steeds groter.

d

Maximaal `2500` euro.

Opgave 16
a

`A(t) = 1,90 * A(t-1)` met `A(0) = 3000` .

b

`A(t) = 3000 * 1,90^t`

c

Doen. `A = 1,95A - 0,00002A^2` oplossen geeft `A = 0 vv A = 47500` .

d

`47500` abonnees.

verder | terug