Discrete dynamische modellen > Differentievergelijkingen
123456Differentievergelijkingen

Verwerken

Opgave 8

Bereken de dekpunten bij de volgende lineaire differentievergelijkingen van de eerste orde. Onderzoek ook of er van convergentie sprake is.

a

`X_n = 0,5 X_(n-1) + 2` met `X_0 = 6`

b

`K(t+1) = 1,08 K(t)` met `K(0) = 2000`

c

`N_t = 5 - 0,6 N_(t-1)` met `N_0 = 0`

Opgave 9

Gegeven is de differentievergelijking `N(t+1) = 0,8 * N(t) + 100` .

a

Laat zien dat het dekpunt van de bijbehorende rij niet afhangt van `N(0)` .

b

Plot de tijdgrafieken bij `N(0) = 100` , `N(0) = 500` en `N(0) = 900` .

c

Naar welke grenswaarde convergeren al deze rijen?

d

Stel de bij `N(0) = 100` , `N(0) = 500` en `N(0) = 900` behorende directe formules op en toon ook daarmee de convergentie aan.

Opgave 10

Brandnetels kunnen zich in korte tijd zeer snel verspreiden. Een onderzoeker vraagt zich af hoe het groeiproces verloopt en plant daartoe op een proefveldje 25 van die planten. Na een week telt zij 15 nieuwe brandnetels en daarom vermoedt ze dat het aantal brandnetels exponentieel groeit.

a

Schat de groeifactor per week `g` van die brandnetels.

b

Voorspel het aantal brandnetels in de komende vijf weken uitgaande van het exponentiële groeimodel.

De brandnetels blijken niet te groeien volgens dit groeimodel. De reden is dat het proefveldje een beperkte oppervlakte heeft. Aan het eind van de vijftiende week lijken er evenveel brandnetels te zijn als aan het eind van de zestiende week, namelijk 225. De onderzoeker gaat daarom uit van een logistisch groeimodel met grenswaarde 225.

c

Stel een geschikt logistisch groeimodel op.

d

Doe nu een nieuwe voorspelling van de aantallen brandnetels in de loop van de eerste vijf weken na het planten.

Opgave 11

Gegeven is de kwadratische differentievergelijking
`K_t = K_(t-1) + 0,25*K_(t-1) * (1 - (K_(t-1))/100)`
met `K_0 = 20` .

a

Laat zien dat de dekpunten van de bijbehorende rij op de parabool met vergelijking `y = 1,25x - 0,0025 * x^2` liggen.

b

Bereken de twee dekpunten van de rij.

c

Bepaal met behulp van een webgrafiek of deze rij convergeert.

Opgave 12

Gegeven is de kwadratische differentievergelijking
`N(t)=5*N(t-1)*(1-N(t-1))+1` .

Er zijn twee startwaarden waarbij de rij `N(t)` constant is. Bereken die waarden.

Opgave 13

Voor het aantal herten in een bosrijk gebied geldt dat er sprake is van logistische groei. Onderzoekers hebben de volgende recursieve formule opgesteld:

`A_t = 1,8 * A_(t-1) - a* A_(t-1)^2`

Op 1 juli 2015 waren er 4000 herten en een jaar later 4800.

a

Toon aan dat `a=0,00015` .

b

Herleid de recursieve vergelijking zodanig dat je de groeivoet kunt aflezen.

c

Hoeveel herten zijn er in dit gebied op den duur?

Opgave 14

Gegeven is de kwadratische differentievergelijking `K_t = a * K_(t-1) * (1 - K_(t-1))` met `K_0 = 0,2` .

a

Voor welke waarde van `a` is de rij `K_t` constant?

b

Voor welke exacte waarde(n) van `a` bestaat de rij `K_t` uit maar twee verschillende getallen?

verder | terug