Discrete dynamische modellen > Differentievergelijkingen
123456Differentievergelijkingen

Voorbeeld 1

Je verwarmt een bepaalde vloeistof tot `100` °C. Als je deze vloeistof in een beker overgiet, begint hij af te koelen. Voor de temperatuur `T(t)` met `T` in °C en `t` in minuten geldt `T(t) = 0,9 * T(t-1) + 2` .
Laat zien dat deze differentievergelijking een exponentieel vervalproces beschrijft door de bijbehorende directe formule op te stellen. Hoe groot is de groeifactor en hoe groot is de groeivoet?

> antwoord

Bij deze lineaire differentievergelijking van de eerste orde hoort de directe formule:

`T(t) = (100 - 2/(1 - 0,9)) * 0,9^t + 2/(1 - 0,9) = 80 * 0,9^t + 20`

Dit is een exponentële functie met een groeifactor van `0,9` .
De groeivoet `c` vind je uit `c = 0,9 - 1` . De groeivoet is `text(-)0,1` .

Opgave 4

Een cultuur bacteriën groeit volgens de differentievergelijking `N(t) = N(t-1) + 0,05*N(t-1)` , waarin `N(t)` het aantal bacterën na `t` dagen is. Op `t = 0` zijn er 50 bacteriën.

a

Plot bij deze bacteriegroei een tijdgrafiek.

b

Toon aan dat de groei van deze bacteriën exponentieel verloopt door een bijpassende directe formule op te stellen.

c

Leg uit waarom deze rij wel divergent moet zijn.

Opgave 5

Een tuinder oogst jaarlijks 40% van zijn thuja's en plant daarna weer 500 jonge thuja's. Dit jaar heeft hij in totaal ongeveer 1600 thuja's staan.

a

Stel bij deze situatie een recursieve formule op. Is hier sprake van een lineaire differentievergelijking van de eerste orde?

b

Hoeveel is de groeivoet? En de groeifactor?

c

Toon de convergentie van deze rij aan door een directe formule op te stellen en de daarbij passende grenswaarde te berekenen.

verder | terug