Discrete dynamische modellen > Differentievergelijkingen
123456Differentievergelijkingen

Voorbeeld 2

In een afgesloten gebied wordt van een bepaalde soort snuitkever een populatie van `20` uitgezet. Omdat hun leefgebied is begrensd, zal er sprake zijn van geremde exponentiële groei. Een onderzoeker heeft voor het aantal kevers `K(t)` in de loop van de jaren de kwadratische differentievergelijking `K(t) = 2,5*(1 - (K(t-1))/1000)*K(t-1)` opgesteld.
Plot een bijbehorende webgrafiek en laat zo zien dat het aantal kevers convergeert. Laat ook zien dat hier sprake is van een groeivoet die kleiner wordt naarmate de populatie groeit.

> antwoord

Uit de webgrafiek blijkt de convergentie. `K` nadert de waarde 600.

Noteer de formule als:

`K(t)`

`=`

`2,5*(1 - (K(t-1))/1000)*K(t-1)`

``

`=`

`2,5K(t-1) - ((K(t-1))^2)/400`

``

`=`

`K(t-1) + 1,5K(t-1) - ((K(t-1))^2)/400`

``

`=`

`K(t-1) + 1,5*(1 - (K(t-1))/600)*K(t-1)`

De groeivoet is `1,5*(1 - (K(t-1))/600)` en als `K(t-1) rarr 600` , dan `1 - (K(t-1))/600 rarr 0` .

Opgave 6

Bekijk de kwadratische differentievergelijking in het voorbeeld.

a

Hoe lees je uit de herleide recursieve formule de grenswaarde van de geremde groei af?

b

In de webgrafiek wordt behalve de lijn `y = x` ook een parabool getekend. Welke formule hoort er bij die parabool?

c

Bereken de dekpunten van de gegeven rij. Zijn ze in overeenstemming met de grenswaarde?

d

Is het aantal snuitkevers dat aan het begin wordt uitgezet van belang voor de grenswaarde die wordt bereikt?

Opgave 7

De groei van een aantal bacteriën `N(t)` wordt bij benadering beschreven door de kwadratische differentievergelijking `N(t) = k*N(t-1)* (400 - N(t-1))` , waarin `t` het aantal dagen na `t = 0` is en `N(0) = 50` .
Neem eerst `k = 0,005` .

a

Plot bij dit groeimodel een webgrafiek en een tijdgrafiek. Naar welke waarde convergeert het aantal bacteriën?

b

Herleid de recursieve formule tot een vorm waarin je de veranderende groeivoet kunt aflezen. Welke waarde heeft de groeivoet?

c

Hoe lees je uit de herleide recursieve formule de grenswaarde van de geremde groei af?

d

In de webgrafiek wordt behalve de lijn `y = x` ook een parabool getekend. Welke formule hoort er bij die parabool?

e

Bereken de dekpunten van de gegeven rij. Zijn ze in overeenstemming met de grenswaarde?

f

Wat is er aan de hand als je met 200 bacteriën begint?

verder | terug