Discrete dynamische modellen > Differentievergelijkingen
123456Differentievergelijkingen

Uitleg

Bekijk de twee grafieken die de mogelijke groei van een populatie beschrijven.

  • Bij een exponentiële groei (of verval) past een dynamisch model met een recursieve formule zoals `N(t) = 1,2 * N(t-1)` met bijvoorbeeld `N(0) = 2000` .
    Deze recursieformule kun je ook noteren als:
    `N(t) = N(t-1) + 0,2 * N(t-1)`
    Bij elke volgende stap komt er 20% bij, het getal 0,2 is de (vaste) groeivoet van dit proces.
    De recursie formule heeft de vorm van een lineaire differentievergelijking. Omdat er alleen een verband is tussen `N(t)` en zijn directe voorganger `N(t-1)` is dit een lineaire differentievergelijking van de eerste orde.
    Er is sprake van convergentie als `0 lt a lt 1` en van alternerende convergentie als `text(-)1 lt a lt 0` .

  • Bij exponentieel geremde groei (of verval), ook wel logistische groei genoemd, is de groei steeds meer geremd naarmate een bepaalde maximale waarde `M` wordt bereikt. De groeivoet is dan geen constante, maar hangt af van `N(t-1)` . De meest eenvoudige aanname is een lineair verband tussen deze groeivoet en `N(t)` . Omdat de groei steeds sterker moet worden afgeremd als `M` wordt benaderd, krijgt de groeivoet de vorm `0,2 * (1 - (N(t-1))/M)` . Dit geeft een recursieformule van de vorm:
    `N(t) = N(t-1) + 0,2 * (1 - (N(t-1))/M) * N(t-1)`
    Er is sprake van een kwadratische differentievergelijking van de eerste orde.

Het oplossen van een differentievergelijking is het vinden van de bijbehorende directe formule.
De lineaire differentievergelijking kan met de somformule van een meetkundige rij worden opgelost.

Opgave 1

Gebruik de gegevens uit de uitleg. Neem eerst de recursieve formule `N(t) = 1,2 * N(t-1)` met `N(0) = 2000` .

a

Laat zien dat je hieruit de directe formule `N(t) = 2000 * 1,2^t` kunt afleiden.

b

Plot de bijbehorende webgrafiek en laat zien dat de rij divergeert.

Gebruik de recursieve formule `N(t) = N(t-1) + 0,2 * (1 - (N(t-1))/M) * N(t-1)` . Neem `M = 4000` en `N(0) = 2000` .

c

Plot de bijbehorende webgrafiek en laat zien dat deze rij convergeert naar `M = 4000` .

d

De groeivoet 0,2 wordt vermenigvuldigd met een remfactor `(1 - (N(t-1))/M)` . Laat zien dat dit een getal tussen 0 en 1 is dat steeds kleiner wordt naarmate `N(t-1)` dichter bij `M` komt.

e

Waarom is hier sprake van een kwadratische differentievergelijking?

f

Laat zien dat uit de differentievergelijking volgt dat `M` de evenwichtswaarde is.

Opgave 2

Onderzoek bij de differentievergelijkingen of de bijbehorende rijen convergeren of divergeren en bereken de eventuele grenswaarden.

a

`N(t) = 0,84*N(t-1) + 200` met `N(0) = 0`

b

`N(t) = 150 + 1,4*N(t-1)` met `N(0) = 100`

c

`N(t) = 0,5N(t-1)(6 - N(t-1))` met `N(0) = 1`

Opgave 3

Een lineaire differentievergelijking van de eerste orde heeft als algemene vorm:
`N(t) = a * N(t-1) + b` met `N(0) = d`

a

Laat zien dat bij een convergente lineaire differentievergelijking van de eerste orde de grenswaarde `N = b/(1 - a)` is.

b

Laat zien dat bij een convergente lineaire differentievergelijking van de eerste orde de directe formule `N(t) = (d - b/(1-a)) * a^t+b/(1-a)` hoort.

c

Waarom is deze rij altijd convergent als `0 lt a lt 1` ?

verder | terug