Discrete dynamische modellen > StelselsVerwerken
In een bepaalde regio vertrekt elke tien jaar `1/6` deel van de bevolking van het platteland `P` naar de stad en `1/15` deel van de stad `S` naar het platteland.
Ga ervan uit dat er niemand uit de regio vertrekt en er ook niemand van buitenaf in de regio komt wonen.
Stel een discreet dynamisch model op bij deze situatie.
Waarom is er hier sprake van een gesloten systeem?
Toon met behulp van een tijdgrafiek aan dat er sprake is van een evenwichtstoestand.
Welk deel van de bevolking zal uiteindelijk in de stad wonen?
Gegeven zijn de volgende recursieformules:
-
`u(t) = u(t-1) + (0,08 - 0,0015 * v(t-1))*u(t-1)`
-
`v(t) = v(t-1) - (0,2 - 0,00048 * u(t-1))*v(t-1)`
met `u(0)=600` en `v(0)=50` .
Bereken handmatig `u(3)` en `v(3)` .
Een bepaalde soort dieren kun je verdelen in jonge dieren en volwassen dieren. De volwassen dieren hebben jaarlijks gemiddeld zo'n `0,4` nakomelingen. Van de jonge dieren wordt jaarlijks ongeveer `25` % volwassen. Van de volwassen dieren sterft jaarlijks zo'n `35` %. In een bepaald jaar zijn er `40` jonge en `90` volwassen dieren.
Stel voor deze diersoort een discreet dynamisch model op.
Bereken het aantal jonge dieren tien jaar later.
Er is nu geen sprake van een evenwichtstoestand waarin beide generaties naar een bepaalde grenswaarde naderen. Bij welk sterftepercentage van de volwassen dieren is dit wel het geval?
In een dynamisch vraag-en-aanbodmodel gelden de volgende modelformules: `q_(text(A))(t) = 30 + 0,5p(t-1)` en `q_(text(V))(t) = 80 - 2p(t)` . Hierin is `t` de tijd in maanden en `q` de hoeveelheid. Er geldt verder `p(0) = 1` geldeenheid.
In dit vraag-en-aanbodmodel is sprake van een vertraging aan de aanbodzijde. Waaraan zie je dit?
Laat de prijsontwikkeling op deze markt zien in een figuur waarin `q` is uitgezet tegen `p` .
Stel een differentievergelijking op voor `p(t)` uitgaande van `q_A=q_V` en plot hierbij een tijdgrafiek.
Toon aan dat `p(t)` alternerend convergeert naar een evenwichtsprijs.
De meeste zeesterren zijn roofdieren, vaak eten ze schelpdieren zoals mosselen. In
een bepaald kustgebied hangen de aantallen zeesterren
`Z(t)`
en schelpdieren
`S(t)`
dan ook van elkaar af. Hoe meer schelpdieren, hoe beter het aantal zeesterren kan
groeien, maar die groei van het aantal zeesterren zorgt dan weer voor een afname van
het aantal schelpdieren.
Een biologe heeft in een bassin
`600`
zeesterren en
`4000`
schelpdieren uitgezet die door deze zeesterren worden gegeten. Zij wil daarmee onderzoeken
hoe het verband tussen
`Z(t)`
en
`S(t)`
verloopt. Bekend is dat de schelpdieren zich zonder de aanwezigheid van de zeesterren
vermeerderen met
`26`
% per jaar in hun normale leefomstandigheden. Verder vermindert het aantal zeesterren
met
`40`
% per jaar als ze in het bassin worden geplaatst, want er moeten eerst voldoende prooien
zijn om het aantal roofdieren te laten toenemen.
Op grond van deze overwegingen wordt het volgende groeimodel opgesteld en nader onderzocht:
`S(t) = S(t-1) + (0,26 - p*Z(t-1)) * S(t-1)`
`Z(t) = Z(t-1) - (0,40 - q*S(t-1)) * Z(t-1)`
Na een jaar blijkt het aantal zeesterren te zijn afgenomen tot `432` exemplaren en het aantal schelpdieren te zijn gestegen tot `4704` exemplaren.
Welke waarden moeten `p` en `q` hebben?
Hoeveel zeesterren zijn er tien jaar nadat de biologe haar dieren heeft uitgezet?
Plot met de grafische rekenmachine een tijdgrafiek van dit dynamisch model voor de eerstkomende vijftig jaar. Hoe ontwikkelen beide populaties zich? Welk probleem doet zich voor?
Plot met de grafische rekenmachine ook een grafiek waarin je `Z` uitzet tegen `S` .
In een plaats met `100000` inwoners breekt de griep uit. Er geldt:
-
`G_(t) = G_(t-1) - 0,000005Z_(t-1)G_(t-1)`
-
`Z_(t) = Z_(t-1) - 0,25Z_(t-1) + 0,000005Z_(t-1)G_(t-1)`
-
`I_(t) = I_(t-1) + 0,25Z_(t-1)`
Hierin is `G_t` het aantal gezonde mensen (mensen die geen griep hebben), `Z_t` het aantal zieken (mensen die griep hebben) en `I_t` het aantal immuun geworden mensen nadat ze de griep hebben gehad. Neem aan dat `Z_0 = 100` en `I_0 = 0` en dat `t` in dagen is.
Maak een tabel. Hoeveel dagen na het uitbreken van deze epidemie is het aantal zieken het grootst?
Hoeveel mensen zijn er op het moment dat het aantal zieken het grootst is weer beter geworden van deze griep?
Hoe kun je uit deze formules aflezen hoeveel dagen iemand gemiddeld van deze griep ziek is?
Het getal `0,000005` ontstaat door de kans dat iemand die besmet is ook daadwerkelijk ziek wordt te vermenigvuldigen met het percentage gezonde mensen dat dagelijks in contact komt met een zieke en daardoor besmet raakt.
Bij deze variant van de griep is de kans dat iemand die is besmet ook ziek wordt `0,00001` . Hoeveel procent van de gezonde mensen raakt dan gemiddeld per dag besmet en wat gebeurt er met het maximale aantal zieken op een dag als dit percentage groter wordt?