Discrete dynamische modellen > StelselsVoorbeeld 2
In de economie wordt als typerend model voor vraag een aanbod de zogenaamde
"varkenscyclus"
gebruikt. Hierbij gaat het erom dat het aanbod
`q_(text(A))(t)`
(van varkens op de varkensmarkt) op een bepaald tijdstip
`t`
afhangt van de prijs
`p(t-1)`
van een periode eerder. De vraag
`q_(text(V))(t)`
wordt echter bepaald door de prijs van dit moment
`p(t)`
.
Verdere modelaannames zijn:
-
Als de prijs toeneemt, neemt de vraag af.
-
Als de prijs toeneemt, neemt het aanbod toe.
-
Zowel vragers als aanbieders reageren onmiddellijk op elke prijsverandering.
-
Alles wat wordt aangeboden wordt meteen verkocht.
Hierbij passen modelformules zoals:
`q_(text(A))(t) = p(t-1) - 25`
en
`q_(text(V))(t) = 400 - 1,5p(t)`
.
Reken dit model door met een startprijs
`p(0) = 120`
en zoek de prijs waarbij vraag en aanbod elkaar in evenwicht houden.
Breng dit model in beeld door de lijnen `q_(text(A)) = p - 25` en `q_(text(V)) = 400 - 1,5p` in één assenstelsel te tekenen. Start bij `p(0) = 120` , bepaal eerst `q_(text(A))` en bepaal dan bij welke prijs `q_(text(V))` even groot is. Bepaal bij die `p(1)` weer `q_(text(A))` en herhaal het voorgaande.
Om dit model op de grafische rekenmachine in te voeren, stel je voor
`p(t)`
een differentievergelijking op uitgaande van
`q_(text(A)) = q_(text(V))`
.
Deze wordt:
`p(t-1) - 25 = 400 - 1,5p(t)`
.
Dit geeft
`p(t) = 283 1/3 - 2/3 * p(t-1)`
en hieruit blijkt hoe de rij
`p(t)`
convergeert naar een evenwichtsprijs.
In
Leg uit dat beide modelvergelijkingen voldoen aan de eerste twee aannames.
Laat met een tijdgrafiek zien dat de rij `p(t)` convergeert.
Stel een directe formule op voor `p(t)` en bereken daarmee de grenswaarde die `p(t)` nadert.
Bekijk de de grafiek in het voorbeeld waarin de prijsontwikkeling is aangegeven.
Waarom is dit niet de webgrafiek van de rij `p(t)` ?
Hoe kun je uit de oorspronkelijke modelformules de grenswaarde van `p(t)` berekenen?
Een dynamisch vraag- en aanbodmodel wordt gegeven door `q_(text(A))(t) = 2 + p(t-1)` en `q_(text(V))(t) = 16 - 4/3 p(t)` met `t` in maanden. `q_(text(A))` stelt de aangeboden hoeveelheid van een bepaald artikel voor en `q_(text(V))` is de op de handelsmarkt gevraagde hoeveelheid van ditzelfde artikel. Neem `p_0 = 3` .
Waarom komt in de formule voor de vraag `p(t)` voor en in die voor het aanbod `p(t-1)` ?
Stel een recursieformule op voor `p(t)` uitgaande van `q_A=q_V` en laat met een tijdgrafiek zien dat de rij `p(t)` convergeert.
Stel een directe formule op voor `p(t)` en bereken daarmee de grenswaarde die `p(t)` nadert.
Teken een grafiek waarin je de prijsontwikkeling aangeeft met behulp van de grafieken van `q_(text(A)) = 2 + p` en `q_(text(V)) = 16 - 4/3 p` .