Dagelijks besmet `20` % van de zieken iemand die gezond is, dus het aantal gezonde mensen neemt elke dag met `0,2Z(t)` af en het aantal zieken stijgt met `0,2Z(t)` . Verder duurt de ziekte gemiddeld vier dagen, dus het aantal mensen dat immuun is stijgt dagelijks met `0,25Z(t)` , terwijl het aantal zieken elke dag met dit aantal afneemt.

De startwaarde is `100000` personen waarvan er `100` ziek en `500` immuun zijn.

Voor de zieken geldt `Z(t +1) = Z(t) - 0,25Z(t) + 0,2Z(t)` en als `Z(0)=0` , geeft dit de rij `Z(t): 0,0,0,0,...`

`Z(1) = 95` , `I(1) = 525` en `G(1) = 99380` .
`Z(2) = 90` , `I(2) = 549` en `G(2) = 99361` .

Dit heeft geen invloed op het verloop van het aantal zieken.

Hoe meer gezonde mensen, hoe gemakkelijker de zieken met een gezond iemand in contact komen en zo de ziekte doorgeven.

Dat hangt af van het aantal zieken, per dag wordt gemiddeld `1/4` van de zieken weer beter.

`Z(1) = 174` , `I(1) = 525` en `G(1) = 99301` .
`Z(2) = 303` , `I(2) = 569` en `G(2) = 99128` .

Je kunt niet meer dan `100` % van de inwoners hebben, tenzij er instroom van buiten de regio is.

Voer in: `u(n) = 0,95 * u(n-1) + 0,2 * v(n-1)` en `v(n) = 0,05 * v(n-1) + 0,8 * v(n-1)` .

Plot enkele tijdgrafieken. Varieer de beginwaarden. Maar wel zo, dat `u(0)+v(0)=1` .

`S(t) rarr 4/5` en `P(t) rarr 1/5` , de beginwaarden zijn daarop niet van invloed, als je tenminste beginwaarden kiest waarbij `S(t) + P(t) = 1` .

Substitueer `P=1-S` in de vergelijking `S=0,95S+0,2P` .
Hieruit volgt `S=0,95S+0,2(1-S)=4/5` en `P=1-4/5=1/5` .

Door bijvoorbeeld aan te nemen dat er een gebied `E` is van waaruit toestroom is naar `S` en naar `P` en daarvoor percentages te schatten. En houd misschien ook rekening met een afstroom terug naar `E` .

`545/(545+266) * 100% ~~ 67,2` %.

De steekproef bestaat uit `1500` personen.

`S(t) ~~ 0,67S(t-1) + 0,37M(t-1)` en `M(t) ~~ 0,33S(t-1) + 0,63M(t-1)`

GR: `u(n) = 0,67 * u(n-1) +0,37 * v(n-1)` en `v(n) = 0,33 * u(n-1) +0,63 * v(n-1)` .

Plot enkele tijdgrafieken en maak tabellen. Varieer de beginwaarden. Maar wel zo, dat `u(0)+v(0)=1500` .

`S(t) rarr 792` en `M(t) rarr 708` , de beginwaarden zijn daarop niet van invloed, als je tenminste beginwaarden kiest waarbij `S(t) + M(t) = 1500` .

Substitueer `M=1500-S` in de vergelijking `S=0,67S+0,37M` .
Hieruit volgt `S=0,67S+0,37(1500-S)~~792` en `M=1500-792=708` .

Als `p` groter wordt, wordt `q_(text(A))` ook groter en wordt `q_(text(V))` kleiner.

Voer de recursieformule op de GR in.

`p(t) = 170 - 50 * (text(-) 2/3)^t` , dit geeft als grenswaarde `p=170` .

In zo'n webgrafiek worden de waarden van de rij zowel langs de horizontale as als langs de verticale as uitgezet. In de grafiek in het voorbeeld wordt de prijs alleen op de horizontale as uitgezet. Op de verticale as staan de hoeveelheden `q_(text(A))` en `q_(text(V))` .

Door op te lossen `q_(text(A)) = q_(text(V))` , dus `p - 25 = 400 - 1,5p` . Dit geeft `p = 425/(1,5) = 170` .

De gevraagde hoeveelheid hangt af van de prijs van datzelfde moment, terwijl de aangeboden hoeveelheid (vanwege de productietijd van kennelijk ongeveer een maand) afhangt van de prijs van een periode eerder.

Voer `p(t) = 10,5 - 0,75p(t-1)` op de GR in.

`p(t) = 6 - 3 * (0,75)^t` , dit geeft als grenswaarde `p=6` .

Teken de grafieken van `q_A` en `q_(V)` als functie van `p` in een assenstelsel.

Begin met `p_0 = 3` en ga omhoog naar de grafiek van `q_A` .
Je vindt `q_A = 13` en bij `q_V=13` hoort `p_1 = 2 12` .

Ga verder met `p_1 = 2 1/4` en ga omhoog naar de grafiek van `q_A` .
Je vindt `q_A = 14 1/4` en bij `q_V= 14 1/4` hoort `p_2 = 1/3` .
Enzovoorts.

Bij een afname van het aantal roofdieren hoort een toename van het aantal prooidieren.

Kies nu voor tijdgrafieken.

Na acht maanden. Het aantal roofdieren stijgt dan nog steeds en zorgt voor de daling van het aantal prooidieren.

Bekijk de tijdgrafiek in b.

De groeifactor van de konijnen neemt af als het aantal vossen toeneemt. De groeifactor van de vossen neemt toe als het aantal konijnen stijgt.

`K(t) = K(t-1)*(1,15 - 0,01 * V(t-1))` met `K(0)=2500` .

`V(t) = V(t-1)*(0,70 + 0,0002 * K(t-1))` met `V(0)=20` .

Voer in:

`u(n)=u(n-1)+(1,15-0,01*v(n-1))*u(n-1)` en `u(ntext(Min))={2500}` .

`v(n)=v(n-1)-(0,70-0,0002*u(n-1))*v(n-1)` en `u(ntext(Min))={20}` .

Venster: `[0, 70]xx[0, 5000]` .

Na vijf jaar. Het aantal konijnen neemt dan snel af. Daardoor daalt vervolgens ook het aantal vossen omdat er minder prooien zijn.

Nee, het aantal vossen komt onder de `1` ( `53` maanden) zodat de vossen uitsterven.
Op een gegeven moment stijgt het aantal vossen volgens het model weer, maar in praktijk zal dit niet gebeuren, omdat de vossen in dit gebied al zijn uitgestorven.

`S(t) = 14/15* S(t-1) + 1/6 * P(t-1)`

`P(t) = 5/6 * S(t-1) + 1/15 * P(t-1)`

Hierbij is `t` de tijd in tien jaar.

`S(t)+P(t)=1` voor alle `t`

Voer in: `u(n) = 14/15 * u(n-1) +1/6* v(n-1)` en `v(n) = 1/15 * u(n-1)+5/6*v(n-1)` .

Plot enkele tijdgrafieken en maak tabellen. Varieer de beginwaarden. Doe dit zodanig dat `u(0)+u(1)=1` . Dan blijkt dat er sprake is van een evenwichtstoestand.

`S+P=1` herleiden geeft `P=1-S` .

`S`	`=`	`14/15S+1/6P`
`S`	`=`	`14/15S+1/6(1-S)`
`S`	`=`	`14/15S+1/6-1/6S`
`7/30S`	`=`	`1/6`
`S`	`=`	`5/7`

Uiteindelijk zal `5/7` deel van de bevolking in de stad wonen.

`J(t)` is het aantal jonge dieren, `V(t)` het aantal volwassen dieren, `t` is de tijd in jaar. Er geldt:
`J(t) = J(t-1) - 0,25J(t-1) + 0,4V(t-1) = 0,75J(t-1) + 0,4V(t-1)`
`V(t) = V(t-1) + 0,25J(t-1) - 0,35V(t-1) = 0,65V(t-1) + 0,25J(t)`
met `J(0)=40` en `V(0)=90` .

GR: er zijn dan `96` jonge dieren.

Herleiden van `J=0,75J+0,4V` geeft `J=1,6V` .
Substitueren in `V=aV+0,25J` geeft `0,6V=aV` .
Hieruit volgt dat er een grenswaarde benaderd wordt als `a=0,6` .
Bij een sterftepercentage van `(1-0,6)*100` % `=40` %.

`q_(text(A))` hangt af van de prijs op `t-1` .

`q_(text(A))(t) = 30 + 0,5p(t-1)` en `q_(text(V))(t) = 80 - 2p(t)` .

`q_A=q_V` geeft `30+0,5p(t-1)=80-2p(t)` en `p(t)=25-0,25p(t-1)` met `p(0)=1` .

Zet de differentievergelijking om in een directe formule: `p(t) = 20 - 19 * (text(-) 0,25)^t` .

Omdat `text(-)1 < text(-)0,25 < 0` is er sprake van alternerende convergentie.

`S(0) = 4000` en `Z(0) = 600` geeft:
`S(1) = 4000 + (0,26 - 600p) * 4000 = 4704`
`Z(1) = 600 - (0,40 - 4000q) * 600 = 432`

Dit betekent `p =0,00014` en `q = 0,00003` .

Voer in:

`u(n)=u(n-1)+(0,26-0,00014v(n-1))*u(n-1)` en `u(ntext(Min))={4000}`

`v(n)=v(n-1)-(0,40-0,00003u(n-1))*v(n-1)` en `u(ntext(Min))={600}`

Tabel: na tien jaar zijn er ongeveer `258` zeesterren.

Beide populaties lijken periodiek te groeien.

Probleem is dat `u` bij bijvoorbeeld `n=17` onder 0 komt. Dit betekent dat er dan geen schelpdieren meer zijn. Daarna herstelt het aantal schelpdieren zich wel, maar dan zijn ze al uitgestorven in dit gebied.

Zet de instellingen op fasegrafiek.

Venster: `[text(-)15000, 6000]xx[0, 16000]` .

Voer de modelformules in op de GR en bekijk de tabel. Neem `Z_0 = 100` en `G_0 = 99900` . Na `29` dagen is het aantal zieken het grootst.

`I(29) ~~ 34110` mensen.

Uit de factor `0,25` waarmee het aantal immuun geworden mensen toeneemt kun je afleiden dat dagelijks ongeveer een kwart van de zieken weer beter wordt en dat deze griep gemiddeld vier dagen duurt.

Omdat `0,000005 = 0,00001 * 0,05` is het percentage mensen dat gemiddeld per dag besmet raakt `5` %. Wordt dit percentage groter, dan wordt het maximale aantal zieken op een dag ook groter en vindt dit maximum eerder plaats.

Aan `C_t = 0,6 * Y_(t-1) - 9` , met name aan `t-1` .

`Y_t = EV_t = C_t + I_t = 0,6 * Y_(t-1) - 9 + 29 = 0,6 * Y_(t-1) + 20`

`Y_t = (Y_0 - 20/(1 - 0,6)) * 0,6^t + 20/(1 - 0,6) = (Y_0 - 50) * 0,6^t + 50`
Deze directe formule nadert voor grote waarden van `t` altijd naar `Y_(oo) = 50` miljard euro.

Maak eerst een schets (in een `p,q` -assenstelsel) van de gegevens. Stel daarna de lineaire modelformules op. Je vindt `q_(text(A))(t) = 150p(t-1) - 300` en `q_(text(V))(t) = 1187,5 - 250p(t)` , met `q` in honderdtallen.

Recursieformule `p(t) = 5,95 - 0,6p(t-1)` met `p(0) = 7` . Hierbij hoort de directe formule `p(t) = 119/32 + 105/32 * (text(-)0,6)^t` . De rij convergeert alternerend naar een prijs van ongeveer € 3,72.

Ja. Los op: `150p - 300 = 1187,5 - 250p` .

`N(t) = 0,68N(t-1) + 0,15B(t-1)` en `B(t) = 0,32N(t-1) + 0,85B(t-1)` .

Er gingen `10` jaar later nog `4795` huishoudens in NL op vakantie, de overige `10205` gingen naar het buitenland.

`N(t) ~~ 4213 * 0,53^t + 4787` . De rij convergeert naar ongeveer `4787` van deze huishoudens die in NL op vakantie blijven gaan.

`P_(1) = P_(0) + (0,38 - a*R_(0))*P_(0) = 600 + (0,38 - 200a)*600 = 570` geeft `a = 0,00215` .

`R_(1) = R_(0) - (0,10 - b*P_(0))*R_(0) = 200 - (0,10 - 550b)*200 = 204` geeft `b = 0,0002` .

`R ~~ 176` en `P = 500` .
Bij deze waarden zullen de aantallen roofdieren en prooidieren niet veranderen. In dit model worden die waarden (in gelijktijdige combinatie) nooit gehaald, er blijven schommelingen in de aantallen.

`178`