Discrete dynamische modellen > StelselsVoorbeeld 1
In een bepaalde regio vertrekt elke tien jaar `1/5` deel van de bevolking van het platteland `P` naar de stad `S` en `1/20` deel van de stad naar het platteland.
Stel hierbij dit dynamisch model op:
-
`S(t) = 0,95 * S(t-1) + 0,2 * P(t-1)`
-
`P(t) = 0,05 * S(t-1) + 0,8 * P(t-1)`
Hierbij is `t` de tijd in tien jaar.
Er is sprake van een gesloten systeem. Dit kun je zien aan dat zowel de coëfficiënten van `S(t-1)` als die van `P(t-1)` samen 1 zijn.
Onderzoek met behulp van een tijdgrafiek van `S(t)` en `P(t)` of er een evenwichtstoestand ontstaat voor wat betreft de verdeling van de bevolking van deze regio over stad en platteland. Laat ook zien hoe je die evenwichtstoestand kunt berekenen vanuit de modelvergelijkingen.
Voer de modelformules in op de grafische rekenmachine of in Excel in. Begin bijvoorbeeld met een verdeling van `50` % op het platteland en `50` % in stedelijke gebieden. Hieruit blijkt dat `S(t)` en `P(t)` in dit model naar een evenwicht toegroeien.
|
|
|
|
Je kunt de grenswaarden voor `S(t)` en `P(t)` ook uit de modelformules afleiden door gebruik te maken dat voor die grenswaarden geldt `S(t) = S(t-1) = S` en `P(t) = P(t-1) = P` . Dit geeft een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden om op te lossen, waarbij ook nog moet gelden dat `S(t) + P(t) = 1` voor elke `t` .
Uit `S=0,95S+0,2P` , `P=0,05S+0,8P` en `S+P=1` volgt `S=0,8` en `P=0,2` .
Uiteindelijk zal `4/5` deel van de bevolking in de stad wonen en `1/5` deel op het platteland.
Bekijk het verstedelijkingsmodel in
Waarom moet gelden dat `S(t) + P(t) = 1` voor elke `t` ?
Plot de tijdgrafiek van `S(t)` en `P(t)` met verschillende beginwaarden. Welke grenswaarden benaderen ze? Hangen die waarden af van de beginwaarden die worden gekozen?
Laat zie hoe je deze grenswaarden voor `S(t)` en `P(t)` berekent uit de modelformules.
Hoe zou je dit verstedelijkingsmodel kunnen uitbreiden en wel rekening houden met toestroom van buiten de regio?
In een stadswijk met `12000` inwoners zijn twee supermarkten: Super en Markt. Sommige mensen uit de wijk hebben een voorkeur voor Super, anderen voor Markt en nog weer anderen wisselen af en toe van supermarkt. In de tabel is van een representatieve steekproef van `1500` mensen uit deze wijk die één keer per week naar de supermarkt gaan, bijgehouden naar welke supermarkt ze zijn geweest.
| week 2 | |||
| Super | Markt | ||
| week 1 | Super | `545` | `266` |
| Markt | `258` | `431` | |
Ga ervan uit dat het gedrag in de loop van de komende weken hetzelfde blijft.
Bereken hoeveel procent van de mensen in deze wijk die één per week naar de supermarkt gaan, blijft terugkomen bij Super.
`S(t)` is het aantal wekelijkse supermarktgangers van deze steekproef naar Super en `M(t)` het aantal wekelijkse supermarktgangers van deze steekproef naar Markt.
Waarom moet gelden `S(t) + M(t) = 1500` voor elke `t` ?
Stel voor `S(t)` en `M(t)` recursieformules op en onderzoek met de grafische rekenmachine of ze naar bepaalde grenswaarden toe groeien.
Hoe kun je deze grenswaarden vanuit de modelformules berekenen?