Voer in: `u(n)=u(n-1)+u(n-2)` en `u(ntext(Min))={1,1}` .

Venster: `[0, 30]xx[0, 12000]` .

De twintigste term is `10946` .

Vul `u(t)=a*g^t` in de recursieformule `u(t)=u(t-1)+u(t-2)` in.

`a*g^t`	`=`	`a*g^(t-1)+a*g^(t-2)`	beiden zijden vermenigvuldigen met `g^2`
`a*g^(t+2)`	`=`	`a*g^(t+1)+a*g^t`	beiden zijden delen door met `a*g^t`
`a*g^t*g^2`	`=`	`a*g^t*g+a*g^t*1`	beiden zijden delen door met `a*g^t`
`g^2`	`=`	`g+1`

`g^2`	`=`	`g+1`	herleid op 0
`g^2-g-1`	`=`	`0`	abc-formule
`g`	`=`	`(1+sqrt(5))/2 vv g=(1-sqrt(5))/2`

`u(0) = 1` geeft `a = 1` , maar als je `u(1) = 1` wilt hebben, dan klopt dit niet.

`u(0) = 1` geeft `a + b = 1` .
`u(1) = 1` geeft `a * (1 + sqrt(5))/2 + b * (1 - sqrt(5))/2 = 1` .
Hieruit volgt `a = (5 + sqrt(5))/10` en `b = (5 - sqrt(5))/10` .
Dit geeft: `u(t) = (5 + sqrt(5))/10 * ((1 + sqrt(5))/2)^t + (5 - sqrt(5))/10 * ((1 - sqrt(5))/2)^t` .

Dit geeft: `1, 2, 7, 20, 61, 182, 547, 1640, 4921, ...`

Vul `u(t)=a*g^t` in de recursieformule `u(t)=2*u(t-1)+3*u(t-2)` in.

Dit geeft `g^2 = 2g + 3` en hieruit volgt `g = 3 vv g = text(-)1` .

`u(t) = a * 3^t + b * (text(-)1)^t`

`u(0) = 1` geeft `a + b = 1` .
`u(1) = 2` geeft `3a - b = 2` .
Hieruit volgt `a = 0,75` en `b = 0,25` .

De directe formule is: `u(t) = 0,75 * 3^t + 0,25 * (text(-)1)^t` .

Substitueren van de uitdrukking in de recursieformule geeft:
`p * (g_1)^n + q * (g_2)^n = a * (p * (g_1)^(n-1) + q * (g_2)^(n-1)) + b * (p * (g_1)^(n-2) + q * (g_2)^(n-2))`
Dit kun je herleiden tot:
`p * ((g_1)^2 - a(g_1) - b) * (g_1)^(n-2) + q * ((g_2)^2 - a(g_2) - b) * (g_2)^(n-2) = 0` .

Herleid `g^2 = ag + b` tot `g^2-ag-b=0` en substitueer dit in bovenstaande formule. Dit geeft:
`p*0*(g_1)^(n-2)+q*0*(g_2)^(n-2)=0`
Dit klopt voor elke `n` .

Deze vergelijking heeft de vorm `g^2 - ag - b = 0` en het aantal oplossingen hangt af van de discriminant `D = a^2 + 4b` . Als `D = 0` is er maar één oplossing, als `D lt 0` dan is er geen reële oplossing.

Voer in: `u(n)=u(n-1)+2u(n-2)` en `u(ntext(Min))={3,1}` .

`K(0)=0` invullen in `K(t)` geeft: `1=p*2^0+q*(text(-)1)^0=p+q` .
`K(1)=3` invullen in `K(t)` geeft: `3=p*2^1+q*(text(-)1)^1=2p-q` .

De vergelijking `1=p+q` kun je herleiden tot `q=1-p` . Dit substitueren in de tweede vergelijking geeft:

`3`	`=`	`2p-(1-p)`
`3`	`=`	`2p-1+p`
`3p`	`=`	`4`
`p`	`=`	`4/3`

Hieruit volgt `q=text(-)1/3` .

Voer in: `v(n)=4/3*2^n-1/3*(-1)^n` en `v(ntext(Min))={1}` .

Vergelijk de tabellen.

De karakteristieke vergelijking `g^2 = 2g + 3` geeft `g = 3 vv g = text(-)1` .

De oplossing van de differentievergelijking heeft dan de vorm: `u(n)=p*3^n+q*(text(-)1)^n` .

`u_0=1` en `u_1=1` dus `{ ({: p+q :} , = , 1), ( {: 3p-q :} , =, 1):}` .

Dit geeft `p=0,5` en `q=0,5` .
De oplossing is: `u_n = 0,5 * 3^n + 0,5 * (text(-)1)^n` .

`P(t) = 4^t+4`

`g^2`	`=`	`4g-4`
`g^2-4g+4`	`=`	`0`
`(g-2)(g-2)`	`=`	`0`
`g`	`=`	`2`

`u(t) = (1 - 0,5t) * 2^t` invullen geeft:

`(1-0,5t)*2^t`	`=`	`4*(1-0,5(t-1))*2^(t-1)-4*(1-0,5(t-2))*2^(t-2)`
`2^t-0,5*2^t`	`=`	`(3-t)*2^t-(2-0,5t)*2^t`
`2^t-0,5*2^t`	`=`	`2^t-0,5t*2^t`

Dit is waar voor elke `t` .

Voer in:
`u(n)=4u(n-1)-4u(n-2)` en `u(ntext(Min))={1,1}` .
`v(n)=(1-0,5t)*2^t` en `v(ntext(Min))={0}` .

Vergelijk de tabellen.

De karakteristieke vergelijking `g^2 = 3g - 2,25` geeft alleen `g = 1,5` .

De oplossing van de differentievergelijking heeft dan de vorm: `u_n = (p + q*n) * 1,5^n` .

`u_0=2` en `u_1=4,5` dus `{ ({: p:} , = , 2), ( {: 1,5(p+q) :} , =, {:4,5:}):}` .

Dit geeft `p=2` en `q=1` .

De oplossing is: `u_n = (2 + n) * 1,5^n` .

De karakteristieke vergelijking `g^2 = 4g - 5` geeft geen reële waarden voor `g` .
Er is geen reële oplossing.

De karakteristieke vergelijking `g^2 = g + 0,5` geeft `g = (1 +- sqrt(3))/2` .

De oplossing van de differentievergelijking heeft dan de vorm: `V(n)= p*((1+sqrt(3))/2)^n + q*((1-sqrt(3))/2)^n` .

`V(0)=2` en `V(1)=1+2sqrt(3)` dus `{ ({: p+q :} , = , 2), ( {: p*((1+sqrt(3))/2)+q*((1-sqrt(3))/2) :} , =, 1+2sqrt(3)):}` .

Dit geeft `p=3` en `q=text(-)1` .

De oplossing is: `V(t) = 3 * ((1 + sqrt(3))/2)^n - ((1 - sqrt(3))/2)^n` .

De karakteristieke vergelijking `g^2 = 4g + 5` geeft `g = 5 vv g = text(-)1` .

De oplossing van de differentievergelijking heeft dan de vorm: `K(t)=p*5^t+q*(text(-)1)^t` .

`K(0)=10` en `K(1)=20` dus `{ ({: p+q :} , = , 10), ( {: 5p-q :} , =, 20):}` .

Dit geeft `p=5` en `q=5` .

De oplossing is: `K(t) = 5 * 5^t + 5 * (text(-)1)^t` .

De karakteristieke vergelijking `g^2 = 2g + 2` geeft `g = 1 +- sqrt(3)` .

De oplossing van de differentievergelijking heeft dan de vorm: `u_n= p*(1+sqrt(3))^n + q*(1-sqrt(3))^n`

`u_0=2` en `u_1=2` dus `{ ({: p+q :} , = , 2), ( {: p*(1+sqrt(3))+q*(1-sqrt(3)) :} , =, 2):}` .

Dit geeft `p=1` en `q=1` .

De oplossing is: `u_(n) = (1 + sqrt(3))^n + (1 - sqrt(3))^n` .

De karakteristieke vergelijking `g^2 = 4g - 5` geeft geen reële oplossingen.
Er is daarom geen reële directe formule.

De karakteristieke vergelijking `g^2 = 4g + 5` geeft `g = 5 vv g = text(-)1` .

De oplossing van de differentievergelijking heeft dan de vorm: `K(t)=p*5^t+q*(text(-)1)^t` .

`K(0)=text(-)10` en `K(1)=10` dus `{ ({: p+q :} , = , text(-)10), ( {: 5p-q :} , =, 10):}` .

Dit geeft `p=0` en `q=10` .

De oplossing is: `K(t) = 10 * (text(-)1)^t` .

De karakteristieke vergelijking `g^2 = 6g - 9` geeft `g = 3` .

De oplossing van de differentievergelijking heeft dan de vorm: `u_n = (p + q*n) * 3^n` .

`u_0=2` en `u_1=4` dus `{ ({: p:} , = , 2), ( {: 3(p+q) :} , =, 4):}` .

Dit geeft `p=2` en `q=text(-)2/3` .

De oplossing is: `u_n = (2 -2/3t) * 3^t` .

maand	aantal vruchtbare vrouwtjes	aantal niet- vruchtbare vrouwtjes
1	1	0
2	1	3
3	4	3
4	7	12
5	19	21
6	40	57

`V(t) = V(t-1) + 3 * V(t-2)` met `V(0) = 1` en `V(1) = 4`

De karakteristieke vergelijking `g^2 = g + 3` geeft `g = (1 +- sqrt(13))/2` .

De oplossing van de differentievergelijking heeft dan de vorm: `u_n= p*((1+sqrt(13))/2)^n + q*((1-sqrt(13))/2)^n` .

`u_0=1` en `u_1=4` dus `{ ({: p+q :} , = , 1), ( {: p*(1+sqrt(13))/2+q*(1-sqrt(13))/2 :} , =, 4):}` .

Dit geeft `p=(7+sqrt(13))/(2sqrt(13))` en `q=(sqrt(13)-7)/(2sqrt(13))` .

De oplossing is: `V(t) = (7 + sqrt(13))/(2sqrt(13)) * ((1 + sqrt(13))/2)^t - (7 - sqrt(13))/(2sqrt(13)) * ((1 - sqrt(13))/2)^t` .

`u_t=2^t+3*4^t` , hieruit volgt dat `g=2` en `g=4` de oplossingen moeten zijn van de karakteristieke vergelijking. Dit is duidelijk het geval bij de vergelijking `(g-2)(g-4)=0` .

`(g-2)(g-4)=0` geeft `g^2=6g-8` .

Hierbij past de recursieformule `u_t=6u_(t-1)-8u_(t-2)` met `u_0=1+3=4` en `u_1=2+3*4=14` .

`u_n`	`=`	`2u_(n-1)-2u_(n-2)`
``	`=`	`2(2u_(n-2)-2u_(n-3))-2u_(n-2)`
``	`=`	`2u_(n-2)-4u_(n-3)`
``	`=`	`2(2u_(n-3)-2u_(n-4))-4u_(n-3)`
``	`=`	`text(-)4u_(n-4)`

`u_0=1,u_1=2, u_2=2` en `u_3=0` .

`u_n=text(-)4u_(n-4)`

`16003=4*4000+3` , hieruit volgt: `u_(16003)=(text(-)4)^2000*u_3=0` .

`u(3)=6*12-11*4+6*1=34`

`u(4)=6*34-11*12+6*4=96`

De karakteristieke vergelijking `g^3 = 6g^2 - 8g + 6` geeft `g = 1 vv g = 2 vv g = 3` . Dit kun je bepalen met de GR, maar door puzzelen ook algebraïsch bepalen.
De oplossing kan dan de vorm `u(t) = p * 1^t + q * 2^t + r * 3^t` hebben.

De startwaarden geven `p + q + r = 1` , `p + 2q + 3r = 4` en `p + 4q + 9r = 12` .

Dit geeft `p = text(-)1` , `q = 1` en `r = 1` .
Dit zou betekenen dat `u(n) = text(-)1 + 2^t + 3^t` de oplossing van deze rij is.
Hier zou uit volgen dat `u(3)=34` , maar `u(3)=96` (zie antwoord a).

Dit klopt met de antwoorden uit a.

Bij controle van meer waarden blijkt dat deze ook kloppen.

De rij van Fibonacci: `1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...`

`f(n) = f(n-1) + f(n-2)` met `f(0) = f(1) = 1`

GR: `u(n)=u(n-1)+u(n-2)` en `u(ntext(Min))={1,1}` en `v(n)=(u(n-1))/(u(n-2))` .

Tabel: `1; 2; 1,5; 1,666...; 1,6; 1,625; 1,615...; 1,619...; 1,617...`

De rij convergeert naar ongeveer `1,618` .

Omdat de rij `v(n)` convergeert, geldt: `lim_(n rarr oo)(f(n))/(f(n-1))=lim_(n rarr oo)(f(n+1))/(f(n))` .

`v(n+1)=(f(n+1))/(f(n))=(f(n-1)+f(n))/(f(n))=(f(n-1))/(f(n))+1`

Noem de grenswaarde `varphi` .

`lim_(n rarr oo) v(n+1)=varphi` betekent `lim_(n rarr oo)(f(n-1))/(f(n))+1=1/varphi+1` .

Hieruit volgt:

`varphi`	`=`	`1/varphi+1`
`varphi^2`	`-`	`varphi-1`
`varphi=(1-sqrt(5))/2`	`vv`	`varphi=(1+sqrt(5))/2`

Alleen de tweede oplossing voldoet: `varphi=(1+sqrt(5))/2` .

Eigen antwoord.

`1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105` .

Vul in: `u(t) = g^t` .
Karakteristieke vergelijking: `g^3 = g^2 + g + 1` en deze vergelijking is niet eenvoudig op te lossen. Met de GR vind je `g~~1,84` . Dit betekent al dat je de exacte waarden zo niet kunt terugvinden.

Karakteristieke vergelijking: `g^3 = 6g^2 - 8g + 6` geeft `g = 1 vv g = 2 vv g = 3` . (Leuk om dit algebraïsch uit te puzzelen, maar het kan ook met de GR, al is dat een zwaktebod.)
De oplossing kan dan de vorm: `u(t) = p * 1^n + q * 2^n + r * 3^n` hebben. De startwaarden geven: `p + q + r = 1` , `p + 2q + 3r = 4` en `p + 4q + 9r = 12` . Dit geeft `p = text(-)1` , `q = 1` en `r = 1` .
Je zou dus zeggen dat `u(n) = text(-)1 + 2^n + 3^n` de oplossing van deze rij is.
Alleen door dit nu de substitueren kun je nagaan of het ook echt klopt. En dat blijkt niet het geval te zijn. Dergelijke vergelijkingen vereisen andere technieken.

Karakteristieke vergelijking: `g^2 = text(-)2g + 8` geeft `g = 4 vv g = text(-)4` .
Oplossing: `u(t) = 2^t + (text(-)4)^t` .

Karakteristieke vergelijking: `g^2 = text(-)2g - 1` geeft `g = 1` .
Oplossing: `v(t) = (1 + t)*1^t = 1 + t` .

Karakteristieke vergelijking: `g^2 = text(-)2g - 8` geeft geen reële waarde voor `g` .
Geen reële oplossing.

`89` .

`55` darren en `34` koninginnen.