Discrete dynamische modellen > Hogere orde
123456Hogere orde

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Maak een tabel, houd de geslachtsrijpe paartjes apart van de paartjes die dit nog niet zijn. Het eerste geslachtsrijpe paartje zorgt op 1 januari voor `3` vrouwtjes (en `3` mannetjes, niet erg boeiend). Je hebt dan dus meteen `4` paartjes. `40` dagen later zorgt dat eerste paartje opnieuw voor `3` vrouwtjes, er zijn dan `7` paartjes. `40` dagen later zorgt dat eerste paartje opnieuw voor `3` vrouwtjes, er zijn dan `10` paartjes. `40` dagen later zorgt dat eerste paartje opnieuw voor `3` vrouwtjes, maar er komen dan `3` drie vrouwtjes bij die alle drie ook voor `3` paartjes zorgen, er zijn dan `23` paartjes, etc.

Opgave 1
a
b

De twintigste term is `10946` .

c

Vul `u(t)=a*g^t` in de recursieve formule `u(t)=u(t-1)+u(t-2)` in.

`a*g^t`

`=`

`a*g^(t-1)+a*g^(t-2)`

beiden zijden vermenigvuldigen met `g^2`

`a*g^(t+2)`

`=`

`a*g^(t+1)+a*g^t`

beiden zijden delen door met `a*g^t`

`a*g^t*g^2`

`=`

`a*g^t*g+a*g^t*1`

beiden zijden delen door met `a*g^t`

`g^2`

`=`

`g+1`

d

`g^2`

`=`

`g+1`

herleid op 0

`g^2-g-1`

`=`

`0`

abc-formule

`g`

`=`

`(1+sqrt(5))/2 vv g=(1-sqrt(5))/2`

e

`u(0) = 1` geeft `a = 1` , maar als je `u(1) = 1` wilt hebben, dan klopt dit niet.

f

`u(0) = 1` geeft `a + b = 1` .
`u(1) = 1` geeft `a * (1 + sqrt(5))/2 + b * (1 - sqrt(5))/2 = 1` .
Hieruit volgt `a = (5 + sqrt(5))/10` en `b = (5 - sqrt(5))/10` .
Dit geeft: `u(t) = (5 + sqrt(5))/10 * ((1 + sqrt(5))/2)^t + (5 - sqrt(5))/10 * ((1 - sqrt(5))/2)^t`

Opgave 2
a

Dit geeft: `1, 2, 7, 20, 61, 182, 547, 1640, 4921, ...`

b

Dit geeft `g^2 = 2g + 3` en hieruit volgt `g = 3 vv g = text(-)1` .

c

`u(t) = 0,75 * 3^t + 0,25 * (text(-)1)^t`

Opgave 3
a

Substitueren van de uitdrukking in de recursieve formule geeft:
`p * (g_1)^n + q * (g_2)^n = a * (p * (g_1)^(n-1) + q * (g_2)^(n-1)) + b * (p * (g_1)^(n-2) + q * (g_2)^(n-2))`
Dit kun je herleiden tot:
`p * ((g_1)^2 - a(g_1) - b) * (g_1)^(n-2) + q * ((g_2)^2 - a(g_2) - b) * (g_2)^(n-2) = 0` .

Herleid `g^2 = ag + b` tot `g^2-ag-b=0` en substiteer in bovenstaande formule. Dit geeft:
`p*0*(g_1)^(n-2)+q*0*(g_2)^(n-2)=0`
Dit klopt voor elke `n` .

b

Deze vergelijking heeft de vorm `g^2 - ag - b = 0` en het aantal oplossingen hangt af van de discriminant `D = a^2 + 4b` . Als `D = 0` is er maar één oplossing, als `D lt 0` dan is er geen reële oplossing.

Opgave 4
a

Voer in: `u(n)=u(n-1)+2u(n-2)` en `u(ntext(Min))={3,1}`

Maak de tabel.

b

`K(0)=0` invullen in `K(t)` geeft: `1=p*2^0+q*(text(-)1)^0=p+q`
`K(1)=3` invullen in `K(t)` geeft: `3=p*2^1+q*(text(-)1)^1=2p-q`

De vergelijking `1=p+q` kun je herschrijven tot `q=1-p` . Dit substitueren in de tweede vergelijking geeft:

`3`

`=`

`2p-(1-p)`

`3`

`=`

`2p-1+p`

`3p`

`=`

`4`

`p`

`=`

`4/3`

Hieruit volgt `q=text(-)1/3` .

c

Voer in: `v(n)=4/3*2^n-1/3*(-1)^n` en `v(ntext(Min))={1}`

Vergelijk de tabellen.

Opgave 5
a

`u_n = 0,5 * 3^n + 0,5 * (text(-)1)^n`

b

`P(t) = 4^t+4`

Opgave 6

`v(n) = (3 + sqrt(21))/(2 sqrt(21)) * ((1 + sqrt(21))/2)^n + (sqrt(21)-3)/(2 sqrt(21)) * ((1 - sqrt(21))/2)^n`

Opgave 7
a

`g^2`

`=`

`4g-4`

`g^2-4g+4`

`=`

`0`

`(g-2)(g-2)`

`=`

`0`

`g`

`=`

`2`

b

`u(t) = (1 - 0,5t) * 2^t` invullen geeft:

`(1-0,5t)*2^t`

`=`

`4*(1-0,5(t-1))*2^(t-1)-4*(1-0,5(t-2))*2^(t-2)`

`2^t-0,5*2^t`

`=`

`(3-t)*2^t-(2-0,5t)*2^t`

`2^t-0,5*2^t`

`=`

`2^t-0,5t*2^t`

Dit is waar voor elke `t` .

c

Voer in:
`u(n)=4u(n-1)-4u(n-2)` en `u(ntext(Min))={1,1}`
`v(n)=(1-0,5t)*2^t` en `v(ntext(Min))={0}`

Vergelijk de tabellen.

Opgave 8
a

`u_n = (2 + n) * 1,5^n`

b

De karakteristieke vergelijking `g^2 = 4g - 5` geeft geen reële waarden voor `g` .
Er is geen reële oplossing.

c

`V(t) = 3 * ((1 + sqrt(3))/2)^n - ((1 - sqrt(3))/2)^n`

Opgave 9
a

`K(t) = 5 * 5^t + 5 * (text(-)1)^t`

b

`u_(n) = (1 + sqrt(3))^n + (1 - sqrt(3))^n`

Opgave 10
a

De karakteristieke vergelijking `g^2 = 4g - 5` geeft geen reële oplossingen.
Er is daarom geen reële directe formule.

b

`K(t) = 10 * (text(-)1)^t`

c

`u(t) = (2 - 2/3 t) * 3^t`

Opgave 11
a
maand aantal vruchtbare vrouwtjes aantal niet- vruchtbare vrouwtjes
1 1 0
2 1 3
3 4 3
4 7 12
5 19 21
6 40 57
b

`V(t) = V(t-1) + 3 * V(t-2)` met `V(0) = 1` en `V(1) = 4`

c

`V(t) = (7 + sqrt(13))/(2sqrt(13)) * ((1 + sqrt(13))/2)^t - (7 - sqrt(13))/(2sqrt(13)) * ((1 - sqrt(13))/2)^t`

Opgave 12
a

`u_t=2^t+3*4^t` , hieruit volgt dat `g=2` en `g=4` de oplossingen moeten zijn van de karakteristieke vergelijking. Dit is duidelijk het geval bij de vergelijking `(g-2)(g-4)=0` .

b

`u_t=6u_(t-1)-8u_(t-2)` met `u_0=4` en `u_1=14`

Opgave 13
a
`u_n` `=` `2u_(n-1)-2u_(n-2)`
`` `=` `2(2u_(n-2)-2u_(n-3))-2u_(n-2)`
`` `=` `2u_(n-2)-4u_(n-3)`
`` `=` `2(2u_(n-3)-2u_(n-4))-4u_(n-3)`
`` `=` `text(-)4u_(n-4)`
b

`u_16003=0`

Opgave 14
a

`u(3)=34` en `u(4)=96`

b

De karakteristieke vergelijking `g^3 = 6g^2 - 8g + 6` geeft `g = 1 vv g = 2 vv g = 3` . Dit kun je bepalen met de GR, maar door puzzelen ook algebraïsch bepalen.
De oplossing kan dan de vorm `u(t) = p * 1^t + q * 2^t + r * 3^t` hebben.

De startwaarden geven `p + q + r = 1` , `p + 2q + 3r = 4` en `p + 4q + 9r = 12` .

Dit geeft `p = text(-)1` , `q = 1` en `r = 1` .
Dit zou betekenen dat `u(n) = text(-)1 + 2^t + 3^t` de oplossing van deze rij is.
Hier zou uit volgen dat `u(3)=34` , maar `u(3)=96` (zie antwoord a).

Dit klopt met de antwoorden uit a.

Bij controle van meer waarden blijkt dat deze ook kloppen.

Opgave 15
a

De rij van Fibonacci: `1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...`

b

`z(n) = z(n-1) + z(n-2)` met `z(0) = z(1) = 1`

c

`1; 2; 1,5; 1,666...; 1,6; 1,625; 1,615...; 1,619...; 1,617...`

d

De rij convergeert naar ongeveer 1,618.

e

De rij convergeert naar `(1+ sqrt(5))/2` .

f

eigen antwoord

Opgave 16
a

`1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105` .

b

Vul in: `u(t) = g^t` .
Karakteristieke vergelijking: `g^3 = g^2 + g + 1` en deze vergelijking is niet eenvoudig op te lossen. Met de GR vind je `g~~1,84` . Dit betekent al dat je de exacte waarden zo niet kunt terugvinden.

c

Karakteristieke vergelijking: `g^3 = 6g^2 - 8g + 6` geeft `g = 1 vv g = 2 vv g = 3` . (Leuk om dit algebraïsch uit te puzzelen, maar het kan ook met de GR, al is dat een zwaktebod.)
De oplossing kan dan de vorm: `u(t) = p * 1^t + q * 2^t + r * 3^t` hebben. De startwaarden geven: `p + q + r = 1` , `p + 2q + 3r = 4` en `p + 4q + 9r = 12` . Dit geeft `p = text(-)1` , `q = 1` en `r = 1` .
Je zou dus zeggen dat `u(n) = text(-)1 + 2^t + 3^t` de oplossing van deze rij is.
Alleen door dit nu de substitueren kun je nagaan of het ook echt klopt. En dat blijkt niet het geval te zijn. Dergelijke vergelijkingen vereisen andere technieken.

Opgave 17
a

Karakteristieke vergelijking: `g^2 = text(-)2g + 8` geeft `g = 4 vv g = text(-)4` .
Oplossing: `u(t) = 2^t + (text(-)4)^t` .

b

Karakteristieke vergelijking: `g^2 = text(-)2g - 1` geeft `g = 1` .
Oplossing: `v(t) = (1 + t)*1^t = 1 + t` .

c

Karakteristieke vergelijking: `g^2 = text(-)2g - 8` geeft geen reële waarde voor `g` .
Geen reële oplossing.

Opgave 18
a

`89` .

b

`55` darren en `34` koninginnen.

verder | terug