Discrete dynamische modellen > Hogere orde
123456Hogere orde

Verwerken

Opgave 9

Bekijk de twee lineaire differentievergelijkingen van de tweede orde. Los beide op.

a

`K(t) = 4K(t-1) + 5K(t-2)` met `K(0) = 10` en `K(1) = 20`

b

`u_(n) = 2u_(n-1) + 2u_(n-2)` met `u_(0) = 2` en `u_(1) = 2`

Opgave 10

Niet alle lineaire differentievergelijkingen van de tweede orde hebben reële oplossingen. Bepaal van het volgende drietal de directe formule als dit kan.

a

`H(t) = 4H(t-1) - 5H(t-2)` met `H(0) = 10` en `H(1) = 20`

b

`K(t) = 4K(t-1) + 5K(t-2)` met `K(0) = text(-)10` en `K(1) = 10`

c

`u(t) = 6u(t-1) - 9u(t-2)` met `u(0) = 2` en `u(1) = 4`

Opgave 11

In een afgesloten gebied leven konijnen. Elke maand krijgt een vruchtbaar vrouwtje gemiddeld zes jongen, drie vrouwtjes en drie mannetjeskonijnen. Deze jonge vrouwtjes kunnen in de eerste maand geen jongen voortbrengen, maar worden vruchtbaar vanaf hun tweede maand.

a

Maak een tabel van de eerste zes maanden voor het aantal vrouwtjes afkomstig van één vruchtbaar vrouwtje. Splits deze tabel op in vruchtbare en niet-vruchtbare vrouwtjes.

b

Stel een lineaire differentievergelijking van de tweede orde op voor het aantal vrouwtjes afkomstig van één vruchtbaar vrouwtje.

c

Bepaal de bijbehorende directe formule.

Opgave 12

Gegeven is de directe formule `u_t=2^t+3*4^t` .

a

Waarom is `(g-2)(g-4)=0` een mogelijke bijbehorende karakteristieke vergelijking?

b

Stel een recursieve formule op die hoort bij de directe formule.

Opgave 13

Gegeven is de lineaire differentievergelijking `u_n=2u_(n-1)-2u_(n-2)` met `u_0=1` en `u_1=2` .

a

Toon aan dat `u_n=text(-)4u_(n-4)` .

b

Bereken `u_16003` .

Opgave 14

Een rij is gegeven door `u(n) = 6u(n-1) - 11u(n-2) + 6u(n-3)` met `u(0) = 1` , `u(1) = 4` en `u(2) = 12` .

a

Bereken de waarden `u(3)` en `u(4)` .

b

Onderzoek of je deze differentievergelijking op dezelfde wijze als een differentievergelijking van de tweede orde kunt oplossen.

Opgave 15

Bekijk de figuur. Tegen een vierkantje van 1 bij 1 wordt nog zo'n vierkantje aangelegd om een rechthoekje van 2 bij 1 te krijgen. Daar wordt weer een vierkant van 2 bij 2 aangelegd. Je krijgt dan een rechthoek van 2 bij 3. Vervolgens wordt daar een vierkant van 3 bij 3 aangelegd, je krijgt dan een rechthoek van 5 bij 3, enzovoort.

a

Welke rij vormen de lengtes van de opeenvolgende vierkanten?

b

Met welke lineaire differentievergelijking van de tweede orde kun je die rij `z(n)` beschrijven?

c

Maak een nieuwe rij waarin je telkens twee opvolgende waarden van de rij van Fibonacci die je bij a hebt gevonden, op elkaar deelt: `f(n) = (z(n))/(z(n-1))` . Geef daarvan de eerste acht termen.

d

De rij `f(n)` convergeert. Laat dit zien met de grafische rekenmachine. Bepaal ook de grenswaarde in drie decimalen nauwkeurig.

e

Bereken exact naar welk getal rij `f(n)` convergeert.

f

De exacte waarde van de grenswaarde van `f(n)` wordt de gulden snede genoemd.

Zoek naar de betekenis van de gulden snede in de kunst en architectuur. Bekijk waar de rij van Fibonacci en de gulden snede in de natuur voorkomen.

verder | terug