Discrete dynamische modellen > Hogere ordeVoorbeeld 1
De rij van Fibonacci is vooral bekend geworden om zijn voorbeeld met de voortplanting van konijnen. Een variant op zijn voorbeeld kent de volgende aannames:
-
Gemiddeld krijgt elk paar konijnen na een maand precies vier jongen, twee vrouwtjes en twee mannetjes die daarom precies twee paartjes vormen.
-
Een pasgeboren vrouwtjeskonijn kan een maand lang geen nakomelingen produceren.
Ga ervan uit dat je met één konijnenpaartje start, dat na een maand twee paren nakomelingen heeft (gemiddeld). Stel een lineaire differentievergelijking van de tweede orde op voor dit voortplantingsmodel. Bepaal daarbij een directe formule, dus de oplossing van deze differentievergelijking.
Maak eerst een tabel voor de eerste maanden, houd de paartjes die voor jongen kunnen zorgen en de paren die dit niet kunnen goed uit elkaar.
| maand | vruchtbare paren | jonge paren | totaal |
| 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 3 | 2 | 5 |
| 3 | 5 | 6 | 11 |
| 4 | 11 | 10 | 21 |
Je vindt de lineaire differentievergelijking: `K(t) = K(t-1) + 2*K(t-2)` met `K(0) = 1` en `K(1) = 3` .
Voor een directe formule begin je met het substitueren van
`K(t) = g^t`
. Dit geeft de karakteristieke vergelijking
`g^2 = g + 2`
met oplossing
`g = 2 vv g = text(-)1`
.
De oplossing van de differentievergelijking heeft dan de vorm
`K(t) = p*2^t + q*(text(-)1)^t`
.
Met behulp van de startwaarden vind je
`p = 4/3`
en
`q = text(-)1/3`
.
De bijbehorende directe formule is `K(t) = 4/3 * 2^t - 1/3 * (text(-)1)^t` .
Bekijk
Maak bij de recursieformule een tabel met de grafische rekenmachine.
Leid zelf de startwaarden van de directe formule af.
Maak ook bij de directe formule een tabel met de grafische rekenmachine. Ga na dat die tabel hetzelfde is als die bij de recursieve formule.
Los de lineaire differentievergelijkingen van de tweede orde op.
`u_n = 2u_(n-1) + 3u_(n-2)` met `u_0 = 1` en `u_1 = 1`
`P(t) = 5P(t-1) - 4P(t-2)` met `P(0) = 5` en `P(1) = 8`
Los de lineaire differentievergelijking van de tweede orde exact op.
`v(n) = v(n-1) + 5v(n-2)` met `v(0) = 1` en `v(1) = 2`