Discrete dynamische modellen > Hogere ordeVoorbeeld 2
Je wilt de lineaire differentievergelijking
`u(t) = 4u(t-1) - 4u(t-2)`
met
`u(0) = 1`
en
`u(1) = 1`
oplossen.
De karakteristieke vergelijking die hierbij hoort, heeft nu slechts één oplossing
`g`
. Laat dat zien en ga ook na dat de oplossing van deze differentievergelijking de
vorm
`u(t) = (p +q*t) * g^t`
heeft, waarin je
`p`
en
`q`
kunt berekenen uit de startwaarden.
Begin voor een directe formule met het substitueren van
`u(t) = g^t`
.
Dit geeft de karakteristieke vergelijking
`g^2 = 4g - 4`
met oplossing
`g = 2`
.
De oplossing van de differentievergelijking kan dan niet de vorm
`u(t) = p*2^t`
hebben, want deze vorm voldoet niet aan beide startwaarden.
Een oplossing van de vorm
`u(t) = (p + q*t) * 2^t`
is wel mogelijk.
`u(0) = p = 1`
en
`u(1) = (p + q)*2 = 1`
geeft
`p = 1`
en
`q = text(-)0,5`
.
De bijbehorende directe formule is
`u(t) = (1 - 0,5t) * 2^t`
.
Ga met de grafische rekenmachine na dat deze rij hetzelfde is als de rij die is gegeven
door de oorspronkelijke recursieformule.
Bekijk in
Laat zien dat de karakteristieke vergelijking bij de gegeven recursieformule precies één oplossing heeft.
Laat ook zien dat de gevonden oplossing inderdaad voldoet aan de differentievergelijking door haar in te vullen.
Ga met de grafische rekenmachine na dat beide rijen hetzelfde opleveren.
Welke van de volgende lineaire differentievergelijkingen van de tweede orde kun je oplossen? Geef in dat geval de oplossing.
`u_n = 3u_(n-1) - 2,25u_(n-2)` met `u_0 = 2` en `u_1 = 4,5`
`a(t) = 4a(t-1) - 5a(t-2)` met `a(0) = 5` en `a(1) = 8`
`V(t) = V(t-1) + 0,5V(t-2)` met `V(0) = 2` en `V(1) = 1 + 2sqrt(3)`