Discrete dynamische modellen > Hogere orde
123456Hogere orde

Voorbeeld 2

Je wilt de lineaire differentievergelijking `u(t) = 4u(t-1) - 4u(t-2)` met `u(0) = 1` en `u(1) = 1` oplossen.
De karakteristieke vergelijking die hierbij hoort, heeft nu slechts één oplossing `g` . Laat dat zien en ga ook na dat de oplossing van deze differentievergelijking de vorm `u(t) = (p +q*t) * g^t` heeft, waarin je `p` en `q` kunt berekenen uit de startwaarden.

> antwoord

Begin voor een directe formule met het substitueren van `u(t) = g^t` .
Dit geeft de karakteristieke vergelijking `g^2 = 4g - 4` met oplossing `g = 2` .
De oplossing van de differentievergelijking kan dan niet de vorm `u(t) = p*2^t` hebben, want deze vorm voldoet niet aan beide startwaarden.
Een oplossing van de vorm `u(t) = (p + q*t) * 2^t` is wel mogelijk.
`u(0) = p = 1` en `u(1) = (p + q)*2 = 1` geeft `p = 1` en `q = text(-)0,5` .

De bijbehorende directe formule is `u(t) = (1 - 0,5t) * 2^t` .
Ga met de grafische rekenmachine na dat deze rij hetzelfde is als de rij die is gegeven door de oorspronkelijke recursieformule.

Opgave 7

Bekijk in het voorbeeld welke vorm de oplossing heeft van een lineaire differentievergelijking van de tweede orde als de bijbehorende karakteristieke vergelijking maar één oplossing heeft.

a

Laat zien dat de karakteristieke vergelijking bij de gegeven recursieve formule precies één oplossing heeft.

b

Laat ook zien dat de gevonden oplossing inderdaad voldoet aan de differentievergelijking door haar in te vullen.

c

Ga met de grafische rekenmachine na dat beide rijen hetzelfde opleveren.

Opgave 8

Welke van de volgende lineaire differentievergelijkingen van de tweede orde kun je oplossen? Geef in dat geval de oplossing.

a

`u_n = 3u_(n-1) - 2,25u_(n-2)` met `u_0 = 2` en `u_1 = 4,5`

b

`a(t) = 4a(t-1) - 5a(t-2)` met `a(0) = 5` en `a(1) = 8`

c

`V(t) = V(t-1) + 0,5V(t-2)` met `V(0) = 2` en `V(1) = 1 + 2sqrt(3)`

verder | terug